染雾数学概念是学习数学知识的基石，是培养数学能力的前提。为此，本章将从数学概念的涵义、小学生学习概念的特点、以及教学中应注意的问题等方面阐述有关概念教学的问题。
第一节 小学数学概念学习的特点
一 小学数学概念概述
1．什么是数学概念
数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延，又称范围。如平行四边形的内涵就是平行四边形所代表的所有对象的本质属性：有四条边，两组对边分别平行，对角线互相平分等；平行四边形的外延包括了一般的平行四边形、长方形、菱形和正方形。概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，它们是构成概念的统一而不可分割的两个方面。
小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。
2．数学概念教学的意义
首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。
小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位满十”等的意义，如果对这些概念理解不清，就无法学习这一法则。又如，圆的面积公式S=，要以“圆”、“半径”、“平方”、“圆周率”等概念为基础。总之小学数学中的一些概念对于今后的学习而言，都是一些基本的、基础的知识。小学数学是一门概念性很强的学科，也就是说，任何一部分内容的教学，都离不开概念教学。
其次，数学概念是发展思维、培养数学能力的基础。
概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。没有正确的概念，就不可能有正确的判断和推理，更谈不上逻辑思维能力的培养。例如，“含有未知数的等式叫做方程”，这是一个判断。在这个判断中，学生必须对“未知数”、“等式”这几个概念十分清楚，才能形成这个判断，并以此来推断出下面的6道题目，哪些是方程。
(1)56＋23＝79 (2)23－x＝67 (3)x÷5＝4.5
(4)44×2＝88(5)75÷x＝4(6)9＋x＝123
在概念教学过程中，为了使学生顺利地获取有关概念，常常要提供丰富的感性材料让学生观察，在观察的基础上通过教师的启发引导，对感性材料进行比较、分析、综合，最后再抽象概括出概念的本质属性。通过一系列的判断、推理使概念得到巩固和运用。从而使学生的初步逻辑思维能力逐步得到提高。
二 小学数学概念的表现形式
在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。
1．定义式
定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。
2．描述式
用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1．25、0．726、0．005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况。
一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。
另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。
一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮·助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意充分领会教材的这两个特点。
三 小学生学习概念的两种基本形式
概念学习实质上就是对一类对象关于数量关系与空间形式的本质属性进行抽象概括的过程，也是舍弃事物非本质属性的过程。表现为对同类对象的本质属性与非本质属性的区分，对概念的肯定例证与否定例证的判别。小学生学习概念主要有概念形成与概念同化两种基本形式。
1．概念形成
就人类认识来说，概念形成是一种发展过程，也就是在对事物感知和分析、比较、抽象的基础上，概括一类事物的本质属性，不断提出假设，验证假设的过程。在教学条件下，是指从大量的具体例子出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，进而以归纳方式抽象出事物的本质属性，提出各种假设加以验证，从而获得初级概念，再把这一概念的本质属性推广到同一类事物之中，并用符号表示。
如小学生对自然数的认识过程，基本上是重复人类数的形成的历史。以4的认识为例，先是认识4辆拖拉机、4根小棒、4颗珠子、4个小木块、4朵红花……这时的数和物之间呈现出一一对应关系，然后排除形状、颜色、大小等非本质属性，仅仅从数量关系的角度，把数“4”从这些具体的实物中抽象出来，还能自己举例说出许多其他用“4”表示的实物，并能用符号“4”表示。
概念形成需要内部与外部两方面的条件，其内部条件是学生积极地对概念的正反例证进行辨别，其外部条件是教师必须对学生提出的概念的本质属性的假设作出肯定或否定的反应。学生就是通过对外界的肯定或否定反应所获得的反馈信息进行不断地选择，从而概括出概念的本质属性的。
如学生对扇形的认识，一开始会从字义上认为像扇子一样的图形就是扇形，显然这是扇形的非本质属性。为了使学生能获得扇形的本质属性，教师逐次出示下列一组扇形的正反例证，要求学生观察这些图中的阴影部分，并作出是否扇形的判断。教师根据学生的判断作出肯定或否定的回答。学生不断判别的过程，就是不断提出假设和对假设进行检验的过程，也是学生不断舍弃概念的非本质属性并发现概念的本质属性的过程。有些学生当判断到第⑦、⑧图时，已发现了扇形概念的本质属性，而大多数学生当判断到第⑨、⑩图时，也已发现了扇形的本质属性，即必须是两条半径和圆周的一部分(即弧)围成的封闭图形。在上述概念形成的学习过程中，学生不仅排除了扇形就是两条直线和一条曲线围成的图形这极易与本质属性干扰的非本质属性的性质，从而获得了扇形的概念，并能推广到一切同类事物。
2．概念同化．
所谓概念同化，就是利用学习者认知结构中原有的概念，以定义或描述的方式直接向学习者揭示新概念的本质属性，进而使学习者获得概念的过程。也就是以间接经验为基础，利用已掌握的概念去学习新概念的过程。
例如，“等腰三角形”是学习三角形之后学习的，是一个发展性概念。教学时可以只给一些三角形模片或图形，让大家先量一量各边的长，然后把有“两条边相等”的三角形放在一起，于是引进“等腰三角形”的定义。教学梯形时，可以从平行四边形人手，让学生将梯形与平行四边形相比较，就可以突出“只有一组对边平行的四边形”这一梯形的本质属性。这就是概念的同化。
概念的同化也需要外部和内部两方面的条件。外部条件是新学习的概念必须与学生原有认知结构中的某些概念或表象有密切的联系，内部条件是学生有着有意义学习的意向。例如，学习公约数、最大公约数，
学生必须主动将它们与自己认知结构中已有的约数概念及有关知识联系起来思考，认识到约数是对一个数来说的，公约数是对两个或更多个数来说，指的是它们都有的约数；由于一个数的约数个数是有限的，其中必有一个最大的约数，所以几个数的公约数中，也必有一个最大的公约数。这样使约数——公约数——最大公约数三个概念精确分化，前后贯通，纳人到原有的整除概念系统中。沟通新概念与原认知结构中有关概念的联系，明确它们的区别，使新概念与原概念得到精确分化和融会贯通。这样，新概念被纳入原认知结构，形成了内容更为丰富也更为完善的新认知结构。
3．概念形成与概念同化的比较
首先从学习过程来看。概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设，并进行检验，最后发现概念的本质属性；而概念同化主要依靠新旧知识的联系，判别学习的概念与原有认知结构中有关概念的异同，并组成概念的网络系统。它们所需的条件也不相同，概念形成的学习条件是学生必须辨别正反例证，同时外界要有反馈信息，而概念同化的学习条件是学生认知结构中必须有同化新概念的有关概念，外界要有新概念的定义或对概念特征的描述。相同的是这两种不同形式的概念学习都需要学生进行积极的有意义的学习活动。
其次从适用情况来看。概念的形成往往与人类自发形成的概念相近，它适用于低年级；就学习内容而言，尤其适用于几何知识的学习。原始概念和一些层次较低的概念，一般采用概念形成的方式，就是凭借事物的具体形象和表象进行抽象。概念的同化则是具有一定心理水平的学生学习概念的方式，比较适合中高年级。对于发展性概念，一般采用同化的形式，因为随着学生年龄的增长，认知结构中的知识不断积累，智力不断发展，就应借助学生已有的概念去认识新的概念。在课堂教学条件下，概念同化就逐渐成为他们获得新概念的主要方式。在引入概念时，要充分复习学生的已有知识，使新概念在已有的概念中精确深化，产生新的认识，即在旧概念的基础上引入新概念。
值得注意的是：在实际教学过程中，由于小学生的逻辑思维在很大程度上需要具体形象的支持，在以概念同化为主的学习中，往往
也结合着概念形成的过程。特别是在引入新概念时，除了复习有关的已有概念，以促进概念同化外，还常常提供一些典型的例子，由具体到抽象地引人新概念。如小学生“倍”的概念的建立便是如此。教师一方面利用直观手段，让学生去摆小棒、小圆片等，另一方面又复习有关“一个数里面有几个几”的知识。这样既符合学生由具体到抽象的认识规律，又可以利用原有的概念进行迁移，在较短的时间内揭示本质属性。
资料一
小学生学习数的概念一般分为四个阶段：依赖实物操作，并能对数进行分类和组合；形成十进位概念和数位概念；掌握十进位运算符号；建立分数的概念，从而将数概念由自然数扩展到正有理数的范围。
小学生几何概念的学习一般分为三个阶段：识别简单图形、变式图形；进行简单几何图形的作图；区分几何图形的本质属性与非本质属性，从而说明图形的特征。
用字母表示数的概念学习也分三个阶段：先学会用()或口表示数；随后学习用字母表示所求的数、运算定律或计算公式；最后逐步建立起等式、等量、方程等概念。
第二节 概念教学中应注意的问题
一 把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾
概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、……，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围等。又如，对“o”的认识，开始时只知道它表示没有，然后知道又可以表示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以表示界限等。
因此，数学概念的系统性和发展性与．概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的要求。
1．明确概念教学的整体要求
作为基础知识核心的概念，教学时应达到如下的要求：
(1)使学生准确地理解概念
理解概念是指对所学概念的一些理性的认识，能够用语言表述它的确切含义，知道它具有哪些本质属性及它包含哪些对象，还要知道它和其他概念间的联系和区别。
(2)使学生牢固地掌握概念
掌握概念是指在理解的基础上记住概念，能够指出概念的肯定例证和否定例证，并能按一定标准对概念进行分类，形成一定的概念系统。
(3)使学生能正确地运用概念
概念的运用就是把已经获得的概念运用到个别的、特殊的新情境中，这又叫概念的具体化。主要表现在学生能在各种不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。
2．把握好概念教学的阶段性目标
为了加强概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。
有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的专、÷、÷、÷、丢、÷等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。
再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图)。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条棱。哪些是看不见的，图中是怎样来表示的。还可以让学生想一想，看一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象。
在把握阶段性目标时，应注意以下几点：
(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时注意与将来的严格定义不矛盾。
(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。说明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解，教师应加以肯定。
(3)当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包含了原来的“倍”的概念。如果把甲量当作l份，乙量也可以是甲量的几分之几。
因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅人深，逐步深化。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。
二 加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾
尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直观，以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。
1．通过演示、操作进行具体与抽象的转化
教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。
几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概念都非常抽象，因此，教学中更要加强演示、操作，通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而抽象出这些概念。
例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果，并把结果整理成下表。
圆直径(厘米)圆的周长(厘米)周长是直径的几倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14......
然后引导学生分析发现：不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一点。这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证。这样，引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等)，抓住事物的本质特征(圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成了概念。
这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。
2．结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化
教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。
例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元?学生在实际解答中发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元?这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。
同样常见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结合学生的生活经验，通过具体的题目将其抽象出来，然后又利用这些关系来分析解决问题。这样的训练有利于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐步
缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。
但是，运用直观并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性上升到理性，形成概念。
三 遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程
尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念，一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径。下面就概念教学中每个环节的教学策略及应注意的问题作一阐述。
1．概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料
概念教学的第一步就是要引入概念。概念如何引入，直接关系到学生对概念的理
解和掌握。常用的概念引入的途径有：
(1)通过直观引入。如“5”的认识，就是让学生数主题图中有5匹马，5个解放军，5支枪等，突出这些东西的数量都是5，可以用数“5”表示。通过数各种数量为5的实物，逐步把数5从具体事物中抽象出来。
(2)通过生活实例引人。如学习圆的认识时，先让学生讨论自行车的车轮为什么是圆的，引导学生把生活中的事例转化为数学问题，然后揭示课题。这样的引入不仅激发了学生的求知欲，而且让学生感觉到数学来自于现实生活。
(3)通过旧知识引入。到了中高年级，许多概念可以通过联系紧密的旧概念直接引入。例如质数和合数的学习，教学时就从复习约数的概念人手，让学生找出1、5、9、11、12、27、16各数中的约数，再引导他们观察、比较，最后把这些数按约数的个数分为三类，从而初步建立质数、合数的概念。
此外，还可以用已学过的计算方法引入新概念。如分数、循环小数、余数等概念都和除法有直接联系，可以用计算引入。这实质上是运用旧知识引入新概念的特殊情况。
在概念引人的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。
如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：一根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等，让学生小组合作，选择其中的一种材料表示出÷。像这样的材料就具有代表性，能紧紧扣住÷这一分数，让学生感悟到这里出现的不同的材料都能说明÷的意义，再通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。
但概念引入时所提供的材料要注意三点：一是所选材料要确切。例如角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角，对于小学教学要求来说，就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。
2．概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性
概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念。促进对概念理解的途径有：
(1)剖析概念中关键词语的真实含义
例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这
(2)辨析概念的肯定例证和否定例证
学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。再如，小数的性质揭示后，可以让学生判断下面各数，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000，从而加深对小数性质的理解。
(3)变换本质属性的叙述或表达方式
小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。
如教学“梯形”的概念，在学生按课本认识了梯形后，出示了下面图(1)、(2)，问：它是梯形吗?当学生回答后，再要他们指出这个梯形的上底、下底和高。接着出示图(3)，要求学生说出图中有哪些梯形，并分别指出这些梯形的高、上底和下底。有的学生认为a是梯形，有的认为b也是梯形，还有的认为a和b合起来是个大梯形。说明学生已经灵活掌握了“梯形”这一概念。
(4)对近似的概念及时加以对比辨析
在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰。
如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”加以比较，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽?
(1)8÷2＝4 (2)48÷8＝6
(3)30÷7＝4……2 (4)8÷5＝1.6
(5)6÷0.2＝30(6)1.8÷3＝0.6
引导学生通过分析、比较，从而得出：第(3)题是有余数的除法，当然不能说被除数被除数整除或除尽，其他各题当然能说被除数被除数除尽了。其中只有第(1)、(2)题，被除数、除数和商都是自然数，而且没有余数，这两题既可以说被除数被除数除尽，又能说被除数被除数整除。从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况。
学习了比之后，可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的区别。
3．重视概念的运用，发挥概念的作用
正确、灵活地运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念组成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在于运用，运用的途径有：
(1)自举实例
这是要求学生把已经初步获得的概念简单运用于实际，通过实例来说明概念，加深对概念的理解。有经验的教师，根据小学生对概念的认识通常带有具体性的特点，在学生通过分析、综合、抽象、概括出概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化。从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确把握概念的内涵和外延。
例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后，就可以让学生分别举一些真分数和假分数的实例；知道了圆柱的特征后，让学生说说日常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的。
(2)运用于计算、作图等
例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。
104×25 48×25 101×35×2
14× 99＋14 25×32 146＋9×146
(80＋8)×25 8× (125＋50) 34×5×2
在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，并说明通分、约分的依据。学习了小数的性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题；画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为2厘米的等腰直角三角形。
(3)运用于生活实践
数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。
例如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半径，只有把树砍下来才能量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的办法来呢?大家再讨论一下。”学生们渴望得到正确的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好办法，即先量出树干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长，算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。
4．注重概念之间的比较分类，深化概念
小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水
平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。
如数的整除性中的有关概念
可以整理如下图。
资料二：
数学概念题的形式大体可以分四类：问答题──提出数学概念，要求学生表述概念的定义。如“举例说明什么是体积，什么是容积”；填空题──这是常用的形式，一般要求学生填写适当的词语或术语，把概念的定义补充完整。如“a与b互质，它们的最大公约数是( )，它们的最小公倍数是( )。”；判断题──要求学生判断命题的真假，从正误两个方面帮助学生正确理解数学概念。如“小数、分数都小于整数”；选择题──这种练习题的后面备有几个不同的答案，要求学生从中选取正确的。这样可以判断学生对概念的理解程度。如“假分数的分子( )分母：
A.大于 B．等于 C．小于 D．大于或等于”。
第三节 概念教学片段举例
一 乘法的初步认识教学片段
1．创设情景，出示课题
师：老师带来了一些铅笔准备奖给学习认真的小朋友，如果每人2枝，奖给4位小朋友，一共要多少枝?怎样列式?(板书：2+2+2+2=8)如果奖给5位小朋友，一共要多少枝?(板书：2+2+2+2+2＝10)我们班46名同学学习都很认真，每位小朋友都奖励2枝，该怎么列式呢?教师一边板书2+2+2+2……，一边问：这样要写多少个“2”?能不能有一种比较简便的方法来表示呢?这就是今天要学习的乘法(板书课题)。
2．直观感知，形成表象
(1)教学乘号。
(2)学生摆红花，写算式。
师：在投影仪上先摆2朵，再摆2朵，最后再摆2朵。问：数一数，一共摆了几个2朵?(板书：3个2)可以用什么方法算?(板书：2+2+2＝6)这个连加算式中加数都是2，我们可以把它改写成乘法算式，写作：2X3二6，读做：2乘3；也可以写作：3X2＝6，读做：3乘2。(教师示范，再指名读、全班读)
(3)学生摆小圆片，写算式。
师：请小朋友自己摆一摆小圆片，再写出算式，行吗?
要求第一行摆3个小圆片，第二行也摆3个小圆片，一共摆了几个小圆片?用加法算怎样列式?能改写成乘法算式吗?(根据学生回答板书：
3+3＝63X2＝6或2X3＝6)
师：如果再摆两行，那一共又有几个3呢?算式该怎么列?(根据学生回答板书：3+3+3+3＝123X4＝12或4X3＝12)
(4)看图形，写算式。
板书：4+4+4＝12，4X3＝12或3X4＝12
5+5+5＝15，5X3＝15或3X5＝15
3．分析比较，揭示本质
(1)师：仔细观察黑板上的这些加法算式和乘法算式，你发现了什么?引导学生得出：这些加法算式的加数都相同，所以能改写成乘法算式。求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便。
(2)讨论下列算式哪些能改写成乘法算式，哪些不能?为什么?
2+2+33+3+3+35+56+6+6+7
4．多种训练，巩固和深化新知
(1)看图列式。
********************
加法算式：乘法算式：
(2)根据算式，用学具摆一摆。
2X24X32X5
(3)把前面“导人”中的三道加法算式改写成乘法算式。
(4)自己写一个加法算式，然后改写成乘法算式。
5．小结(略)
评析：这节概念课遵循了概念形成的规律，依据感知——表象——概念——运用这么一条途径。概念的引入能紧紧抓住同数连加这一已有的知识基础，又辅以生动形象的直观教学手段，可谓双管齐下。一开始就让学生在现实情境中初步接触“相同加数”，从计算全班学生的奖品总数而激起学生学习“乘法”的欲望。接着让学生在操作实践的过程中，各种感官协同活动，在获得大量感性材料的基础上，形成清晰而丰富的表象，为学生初步认识“乘法”奠定了坚实的基础。新课展开以后能及时对加法算式和乘法算式这些感性材料引导学生进行分析比较，抽象概括出本质属性。“求几个相同加数和，用乘法计算比较简便”这一结论是抽象概括的结果。教师通过第一层次由学生摆出了3个2朵小红花，列出加法算式2十2+2＝6再引导学生看算式回答算式中的加数有什么特点?再让学生用正方形摆出4个3，用小圆片摆出5个4，分别列出加法算式，并观察每个算式中加数的特点。第二层次，教师由三道加法算式引出新的运算——乘法，说明3个2相加的和，4个3相加的和。5个4相加的和，可以用乘法计算。第三层次，通过加法和乘法算式的比较，得出用乘法计算比较简便。第四层次是抽象出乘法的意义。在这个由具体到抽象的过程中，学生的抽象、概括能力得到了培养。为巩固新知设计的辨析题中既有肯定例证，也有否定例证，抓住了教学的难点，突出了教学的重点，有利于学生真正理解乘法的意义，即乘法是求几个相同加数和的简便运算。最后写出求46个学生的铅笔总数的乘法算式，使学生已有的概念得到了及时扩展。整节课学生都主动地投入了整个教学过程。
二 面积单位及其进率教学片段
1．感知1平方分米
(1)学生观察：教师在黑板上贴的纸上画一条1分米长的线段，以这条线段为边长，画一个正方形。告诉学生，这个边长1分米的正方形的面积是l平方分米。接着教师用剪刀剪下这l平方分米的正方形纸，贴在黑板上。
(2)学生操作：剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。
2．感知1平方厘米
(1)师：谁能第一个剪出1平方厘米的正方形?学生动手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他们说说是怎样剪的。然后让学生用手摸一摸，闭上眼睛想一想l平方厘米的样子及大小。
(2)把1平方分米的正方形纸和l平方厘米的正方形纸放在桌面上，看一看，比一比，闭上眼睛想一想它们的样子及大小。
3．感知1平方米
师：谁能告诉大家，怎样剪出1平方米的正方形纸?学生说完，教师就把事先剪好的1平方米的正方形纸贴在黑板上，让学生看一看，闭上眼睛想一想它的样子和大小。
4．讨论：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?
5．讨论：1平方分米、l平方厘米及l平方米的关系。
(1)要求学生看着自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形纸。想一想怎样才能测出1平方分米中有多少个l平方厘米?学生认为动手摆一摆、画一画就能测出来。开始学生把两张正方形纸的一个顶点对齐，然后沿着1平方厘米的正方形纸的边沿把它所占的平面位置画在了1平方分米的正方形纸上。再挪动1平方厘米的正方形纸，紧挨着画好的小正方形摆好，再沿边沿画出它所占的位置。再挪动正方形……这样画了一排，再画第二排，第二排没有画完，有的学生已经用尺子把l平方分米的正方形每边平均分成了10份，把对边上的两点连结，画出格线，数一数，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。
(2)提问：怎样知道1平方米中有多少个1平方分米?如果沿l平方米的正方形的边长摆1平方分米的小正方形，一排能摆几个?可以摆多少排?得出：
1平方米＝100平方分米。
(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?学生很快就得出：
1平方米＝10000平方厘米。
6．巩固运用
(1)举例说说1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。
(2)填上合适的单位名称。(略)
评析：学生通过动手操作，可以增加对所学知识的感性认识，在操作中获得实物的表象，加深对所学知识的理解。这里的教学片段，教师正是出于这样的思考，让学生通过自己动手摆一摆，画一画，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意义及它们之间的进率，并且印象深刻，记忆持久。同时，也培养了学生的动手能力。自始至终学生获取知识的过程是主动积极的。质数与合数教学片段
1．导入
师：同学们都有自己的学号，请把表示你学号的这个数的所有约数找出来。
(指名反馈，教师根据29号、2号、26号、16号同学的发言，逐一板书这些数的约数。其余同学互相交流。)
2．分类整理，揭示概念
师：请同学们仔细观察这些数(手指黑板)，能不能把这些数分分类?同桌可以互相议一议。
生甲：我把这些数分成两类，一类是奇数，一类是偶数。奇数有21、7、29，偶数有6、2、26和16。
生乙：我是按约数的个数来分的，7、29、2只有两个约数分为一类，6、16、21、26有两个以上的约数分为一类。
生丙：我把6、7、2分为一类，这些数都是一位数，21、16、29、26分为一类，这些数都是两位数。
师：还有其他分法吗?(学生表示没有)这些分法都有道理。奇数、偶数我们以前已经认识了，今天我们着重
来研究按约数个数来分的情况。像这样只有两个约数的数，叫做质数，也叫做素数；有两个以上约数的数叫做合数。
3．讨论，建立概念
师：再请同学们仔细观察一下：质数有什么特点?合数有什么特点?有困难的同学可以和周围的同学商量一下。
生：质数的约数只有l和它本身两个，合数的约数除了1和它本身还有别的约数。
师：有没有不同意见?谁再来说一说?看看书上是怎么说的。
4．理解和巩固概念
师：现在我们知道了什么是质数，什么是合数，那么除了黑板上的这些数，你还能举一些例子吗?写在本子上。
生：19、23、27、31、59、61是质数，4、15、20、18、25、10、12、30是合数。
师：还有吗?还有这么多同学想说，可是黑板只有这么大，怎么办?
生：用省略号表示。(板书)
师：这几位同学举出的这些数是不是质数?指板书我们来判断一下。
生：19、23是质数，27不是质数。
师：27为什么不是质数?
生：因为27除了1和它本身以外，还有别的约数3和9，所以是合数。(教师调整板书)
师：这些都是合数吗?(学生没有意见)谁能说说12为什么是合数?
5．运用概念
(1)教师从周围环境中选取素材，让学生进行判断练习，概括出判断方法(略)。
(2)讨论“1”，得出1既不是质数，也不是合数，因为它只有一个约数。
6．综合练习
(1)找一找，黑板上的这些数中，哪些是奇数?哪些是偶数?你发现了什么?(一些数既是奇数又是合数，如9、21等；一些数既是偶数又是质数，如2)
师：既是偶数又是质数的只有2，其他偶数有可能是质数吗?为什么?同桌互相检查一下，你找对了吗?
(2)出示2～50的数，要求很快找出质数。
反馈时要求介绍一下你有什么好方法。
(3)把下面各数写成两个质数的和。
6=()+()8＝()+()
10＝()+()12＝()+()
师：这里的6、8、10、12都是什么数?
生：是合数，也都是偶数。
师：能不能把这些数写成两个质数的和?学生在练习本上写。
>师：是不是所有不小于6的偶数都能写成两个质数的和?这是一种猜想，要证明它可不容易，这就是世界有名的难题“哥德巴赫猜想”，有兴趣的同学课后可以去查阅有关资料。
评析：这是一节比较抽象的概念课，其最大的特点是教师能遵循学生概念学习的特点展开整个教学过程。上课一开始就紧紧抓住“约数”这一已有的基础知识，让学生找一找表示自己学号的数的约数，通过观察、分类，揭示质数、合数的概念。再通过进一步的观察、讨论，并用自己的语言来说一说什么是质数、合数，初步建立概念。在此基础上，请全体学生举例，进行判断，从而检验并巩固了所学的概念。综合练习的组织，在及时巩固运用新知识的同时，沟通了与旧知识的联系，让学生明确了奇数、偶数、质数、合数间的区别和联系，使概念系统化。
除此之外，这节课还有以下三个特点：一是教师能真心诚意地把学生当做学习的主体，课堂的主人，发扬教学民主，让每个学生都积极参与教学过程，在自主探索中获取新知，体验成功。二是注意就地取材，充实教学内容，使抽象的教学内容变得生动,贴近学生生活。三是能以知识学习为载体，培养学生主动探索、独立思考的能力和敢于创新的精神，同时适当渗透数学思想方法。
四 三角形按角分类教学片段
在学生操作、教师演示相结合进行了三角形定义、特性等内容的教学后，教师用投影出示了7个不同的特征明显的三角形。(为了使分析、表述方便，给每个三角形都编上了序号，三角形的每个角也都编上了序号。如图：
1．填表
师：观察每个三角形的／1看看它是什么角?再依次看看之/2、／3，看看它们又是什么角?把结果填在下表中。
2．分类
师：请同学们认真观察表格，你发现这些三角形的三个内角有什么相同点和不同点?
学生回答后教师归纳：
相同点(共性)：每个三角形至少有两个内角是锐角。
不同点(个性)：第三个角可能是锐角、直角或钝角。
师：如果要把这7个三角形分类，你认为该怎样分?要求大家把自己的分类情况写下来。教师根据学生的回答板书：
(1)(4)(7)
(2)(5)(3)(6)
3．取名
师：刚才我们把7个三角形分成了三组，你能根据它们各自的特征给每组三角形取个名字吗?
教师根据学生的回答形成板书：
(1)(4)(7)
锐角三角形
(2)(5)(3)(6)
直角三角形钝角三角形
4．定义
师：根据三种三角形的名称以及它们各自的特征，谁来说说：什么叫锐角三角形?什么叫直角三角形?什么叫钝角三角形?(学生讨论后要求看书，看看大家的结论与书上的定义是否一样。)
5。加深理解三角形的分类
师：请同学们拿出三根小棒，你能用三根小棒摆一个三角形，使它既不是锐角三角形，也不是直角或钝角三角形吗?(学生摆不出来)
师：从刚才的摆三角形中，你们发现了什么?
根据学生的回答小结：实际上任何一个三角形一定属于锐角、直角或钝角三种三角形中的一种。所以三角形按角分可以分成三类(板书)。
6．练习(略)
评析：这里的教学通过填表、分类、命名、定义、操作、练习六个环节的有机结合，使学生借助于原有的角的知识，不知不觉地掌握了三角形按角分类的新知识。第一层次填表，学生通过填表既使三角形内角的情况一目了然，又为下面进一步归纳、分析作了准备。第二层次引导学生在分析7个三角形内角的共性和个性的基础上进行分类。第三层次要求学生根据分成的三组三角形各自的特征，给它们取一个合适的名字，从而初步认识了三类三角形的特征。第四层次要求为每一种三角形下一个明确的数学定义，使概念由7个三角形推广到所有三角形，使感性上升到理性。最后一个层次，在学生操作的基础上引导发现任何一个三角形都在三种三角形范围内。得出结论，三角形按角分类，应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。从而完成了整个概念的教学过程。这一过程遵循了小学生的心理特征和认知规律，循序渐进，环环紧扣，整个教学过程既发挥了教师的主导作用，又发挥了学生的主体作用，取得了良好的教学效果。
[小学数学概念学习]
