点的投影 -工程

点是组成物体的最基本的几何元素因此,研究形体的投影问题应从点开始.点在立体上常以三直线(或三平面)相交的交点形式出现,如图2—8中立体上A、B、C、D、E、F、G、H都是三条直线的交点，

点的投影

一、 点在三投影面体系中的投影

（一）三投影面体系的建立

在工程图中，为清楚地的反映物体的形状，常采用三面投影图。如图2—9a所示，三个互相垂直的投影面：正立投影面（简称正面）、水平投影面H（简称水平面）和侧立投影面W（简称侧面），组成了三面投影体系，其投影面之间的交线称为投影轴。V面与H面的交线为OX轴，V面与W面的交线为OZ轴，H面与W面的交线为OY轴，三轴OX、OY、OZ必定互相垂直。

（二）点在三投影面体系中的投影

如图2—9a所示，将窨点A分别向H、V、W面进行投影，得到水平投影a、正面投影和侧面投影。三投影面展开在同一平面上的方法是V面固定不动，湍OY轴将H面、W面分开，H面向下旋转，W面向左右旋转使三个投影面展成一个面。点A的三个投影随投影面展开后，如图2—9b所示。这时，OY轴分别成H面上的OY和W面上的OY。同样，也可以将投影面的框线和名称省略，形成如图2—9c所示的点的三面投影图。

（三）坐标和三面投影规律

如把三投诚同体系看作窨直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，点O为坐标原点。由图2—9可知，点A的直角坐标、、即为点A到三个坐标面的距离，且与点A的投影a、、的关系如下：

a＂=

由此可知：

a由，即点AR两坐标决定；

由和，即点A的两坐标决定；

,即点A的两坐标决定。

所以空间点A（，Z）在三投影面体系中有唯一确定的一组投影a、a′、a″。反之，如已知点A 的一组投影a、a′、a″即可确定该点的坐标值，即确定其空间位置。根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：

1.点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴；这两个投影到OZ轴和OY轴的距离相等，都反映空间点的X坐标，即a′a⊥OX轴，aa′=aa=x。

2.点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴；这两个投影各到OX轴和OY轴的距离相等，都反映空间点的Z坐标，即a′a″⊥OZ轴，aa′= aa″=z。

3.点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等，都反映空间点的y坐标，即a″a⊥

如图2-9c，由于在H面投影中的Oa=在W面投影中的Oa，作图时可过点O作直角∠YOY的角平分线，它与两条轴线OY都成45°，从a引H面投影中的OY轴的垂线与角平分线相交与一点，再从该点作W面投影中的OY轴的垂线，并延长，使与从a′引出的OZ轴的垂线相交，其交点即为a″。

由于点的两个投影就能确定点的三个坐标值，也就能确定点的空间位置，所以只要已知点的两个投影就能作出它的第三个投影。

（四）特殊位置点的投影

有时，空间点在投影面上或投影轴上，称之为特殊位置的点。如图2-10所示。点B位于V面上，其三面投影为:b′与B重合（y=0），b在OX轴上，b″在OZ 轴上。点C位于H面上，其三面投影为：c与C重合（z=0），c′在OX轴上，c″在OY轴上。点D在OX轴上，其三面投影为：d和d′都与D重合（y=0，z=0），d″与原点O重合。综上所述可得出特殊位置点的投影特性为：

（1）投影面上的点必有一个坐标为零，在该投影面上的投影与该点自身重合；在另外两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。

（2）投影轴上点必有两个坐标为零，在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合；在另一投影面上的投影则与原点O重合。

[例2-1]如图2-11a所示，已知点B的正面投影b′及侧面投影b″，试求其水平投影 b，

工程

分析已知B的正面投影b′及侧面投影b″，则点B的空间位置已经确定，因此，可作出其水平投影b。

作图步骤（如图2-11b）所示：

（1）作∠YOY的角平分线。

（2）过b″作W面投影中的OY的垂线使与角平分线相交，自交点作H面投影中的OY的垂线，与过b′所作OX的垂线相交，即得b。

[例2-2]已知点A（15，10，20），求作三面投影图。

分析由A （15，10，20）可知，点A与三个投影面均有距离，即点A是既不在投影面上、也不在投影轴上的一般点。

作图步骤（如图2-12所示）：

（1）画出投影轴并标记

（2）在OX轴上取O a=15，得a，见图2-12a。

（3）过a作OX轴的垂线，并在此垂线上取aa′=20，得a′；取aa=10，得a，见图2-12b。

（4）作∠YOY的角平分线。过a作H面投影中的OY的垂线使其与角平分线相交，自交点作W面投影中的OY的垂线，与过a′作OZ的垂线交于a″，即得点A的三面投影，见图2-12c。

二、两点的相对位置

根据两点的各个同面投影（即在同、一投影面上的投影）之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置，因为，在投影图中，空间两点的相对位置是由它们的各个同面投影所反映的坐标差来确定的。从图2-13a、b中可以看出，V面投影反映出两点的上下、左右关系；H面投影反映出两点的左右、前后关系；W面投影反映出两点的上下、前后关系。

在图2-13b 中反映出：点A与点B的左方x—x处，后方y—y处，上方z—z处。

必须注意两点的前后位置关系是根据两点在H或W面投影的y坐标差来判断的，其中y坐标值较大的点在前。如图2-13b中的y>y，所以点B在前点A在后。

[例2-3]如图2-14a所示，已知点A和点B的投影图，是判断两点的空间位置，并画出其直观图。

分析从图2-14a中可知，点A在点B的左、下、前方。量得x—x=9mm，z—z=11mm，y—y=10mm，所以判定点A在点B左方9mm，下方11mm，前方10mm处。根据点A和点B的投影图便可画出直观图。

作图步骤（如图2-14b所示）：投影体系直观图：画出水平轴OX，过点O作垂直轴OZ，用45°三角板过O作OY轴使∠XOY=135°，过轴OX、OY、OZ轴上分别从图2-14a中量取A的三个坐标值（x=16mm、y=15mm、z=5mm），从量得的点分别作各相应轴 的平行线。即交得a、a′、a″，再由a、a′、a″作相应轴 的平行线，三线交于一点，得A，便完成了A极其投影的直观图。

（3）画点B极其投影的直观图：用作A的直观图相同的步骤就可作出点B极其投影的直观图。

三、重影点及其可见性

如图2-15所示，点C和点D的x、y坐标均相同，z坐标不同。由于点C的z坐标大，可知点C位于点D的正上方，即点C、点D位于同一条对H面的投影线上，它们的水平投影重合在一起。故点C和点D称为对H面的重影点。同理，由于两点E、F的x、z坐标均相同，这两点必位于同一条对V面的投影线上，它们的正面投影重合在一起，所以点E和点F称为对V面的重影点。由此可知，一对有两个坐标分别相同的点，必然有一组同面投影重合。这样一对空间点，称为对该投影面的重影点。重影点的一组同面投影重合，称为重影。也就是说，一对重影点必然在它们相同的两个坐标所确定的投影面上重影。

由于一对有一组同面投影重合，在对该投影面投射时，存在一点遮住另一点的问题，即重合的投影存在着可见不可见的问题。

点C和点D为对H面的重影点，沿着对H面投射线方向观察，点C的z坐标大于点D的z坐标，则点C遮住了点D，即点C的水平投影可见，点D的水平投影不可见（规定在不可见投影的符号上加括号），但其正面投影均为可见。

点E和点F为对V面的重影点，沿着对V面的投射线方向观察，由于点F的y坐标大于点E的y坐标，所以点F遮住 了点E。即点F的正面投影可见，点E的正面投影不可见，但其投影均为可见。