等比数列求和公式推导过程

等比数列求和公式推导过程

　　等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。下面为大家带来了等比数

　　等比数列求和公式推导过程

　　求和公式推导

　　(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

　　(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)

　　(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

　　(4)a(n+1)=a1*q^n

　　(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1)

　　性质

　　①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

　　②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列;

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2;

　　④若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G≠0);

　　⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

　　⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^k+1。

　　⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

　　⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

　　拓展：高中等比数列公式

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

　　(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1)

　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的`一群孤立的点。

　　(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

　　(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

　　(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

　　①当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)

　　②当q=1时， Sn=n×a1(q=1)

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。