怎么证明余弦定理

时间:2018-01-09 07:41:22
染雾
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怎么证明余弦定理

怎么证明余弦定理

证明余弦定理:

因为过C作CD垂直于AB,AD=bcosA;所以(c-bcosA)^2+(bsinA)^2=a^2。

又因为b^2-(bcosA)^2=(bsinA)^2,所以(c-x)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2,

所以c^2-2cbcosA+(bcosA)^2+b^2-(bcosA)^2=a^2,

所以c^2-2cbcosA+b^2=a^2,

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosA,

所以cosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac,cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2

在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

∠C对边为c,∠B对边为b,∠A对边为a -->

BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

勾股定理可知:

AC=AD+DC

b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

b=c+a-2ac*cosB

所以,cosB=(c+a-b)/2ac

2

如右图,在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点,AC所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是C点坐标是(b,0),由三角函数的.定义得B点坐标是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA). 现将CB平移到起点为原点A,则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C , 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C),asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC,asinC), ∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ,同理可证 asinA = bsinB , ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ,平方得: a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A , 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB , c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得:

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

由b^

2=a^2+c^2-2ac*cosB

得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

证毕。

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