分式的运算精讲精练(含答案)

时间:2018-07-03 08:43:31
染雾
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分式的四则运算精讲精练(含答案)

分式的四则运算

知识总结归纳:

1. 分式的乘除法法则

ab?cd?acbd

ab

?

cd

?

ab

?

dc

?

adbc

当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法

(1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是:

①取各分母系数的最小公倍数;

②凡出现的字母(或含有字母的.式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则:

ac?bc?a?bc

(3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则:()?n(n为正整数)

bb

4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题:

(1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关;

(2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算 例1:计算

x?x?2x?x?6

22

a

n

a

n

?

x?x?6x?x?2

2

2

的结果是( )

A.

x?1x?3

B.

x?1x?9

C.

x?1x?9

2

2

D.

x?1x?3

2

2

分析:

(x?2)x(?1)x(?

?(x?3)x(?2)x(?

2x)?(3x)?(

1)x?(2)x?(x1?)(

x3?)(

22

x1)?

x3)?

19

故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。

*例2:已知abc?1,求

aab?a?1

?

bbc?b?1

?

cac?c?1

的值。

分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用abc替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式? ?

aab?a?1

aab?a?1

??

ababc?ab?a

ab1?ab?a

nm???

abcabc?abc?ababca?1?abmm?n

?

?1 )的值。

a?ab?1ab?a?1nm?

m

例3:已知:2m?5n?0,求(1?)?(1?

m?n

分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解:(1?

?

nm?

mm?n

)?(1?

nm?

mm?n

)

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)?nm(m?n)

?

m(m?n)?n

?

?

m(m?n)?n(m?n)?m

m(m?n)

?

m?nm?n

5

故原式?2

5

aba?b

13

bcb?c

n?n

?

72

n?

32

n?

73

* 例4:已知a、b、c为实数,且

的值是多少?

?,?

2

1

4

n?n

cac?a

?

15

,那么

abcab?bc?ca

分析:已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化。 解:由已知条件得: 所以2( 又因为

1a?1b?1c

1a?1b?3,

1b?1a1c??4,1b?1c1c?1a?5

)?12 即

?1c?1b?1a

?6

abcab?bc?ca

?16

ab?bc?ca

abc

?6 所以

例5:化简:(

x?1x?2

3

3

?

x?1x?2

2

)?

x?4x?1

2

2

(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)(x?2)(x?2)

解一:原式? ?

(x?2)(x?2)x?1

???

x?3x?2x?4

x?1

24

3

2

?

(x?x)?3(x?1)?(x?1)

x?1

2

4232

x(x?1)(x?1)?3(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)

x?1

(x?1)(x?x?3x?3x?3?x?1)

x?1

3

23

2

2

?x?2x?4x?4

(x?1)(x?x?1)(x?2)(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)

解二:原式? ???

x?2x?1x?2x?1

?(x?x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)

2

2

?x?x?x?2x?2x?2?x?3x?2

?x?2x?4x?4

3

2

3222

说明:解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次

多项式,而它的分解需要拆、添项,比较麻烦;解法二则运用了乘法分配律,避免了上述问题。因此,解题时注意审题,仔细观察善于抓住题目的特征,选择适当的方法。 例1(2000·北京朝阳)计算:1?

n?mm?2n

?

m?n

2

2

2

2

m?4mn?4n

解:

m?2nm?n

m?n?m?2n

m?n

3nm?n

?1???

说明:分式运算时,若分子或分母是多项式,应先因式分解。 例2(2001·内蒙呼和浩特) 已知:

Mx?y

2

2

?

2xy?yx?y

2

2

2

?

x?yx?y

,则M?_________。

?

2xy?y?x?2xy?y

x?y

2

2

222

?

x

2

2

2

x?y

?

Mx?y

2

2

?M?x2

说明:分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。 例1:计算:[

1(a?b)

2

?

1(a?b)

2

]?(

1a?b

?

1a?b

)

解一:原式?

(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)

?4ab(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

2

2

22

22

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

??

(a?b)(a?b)

?2b1

?

1a?b

2a(a?b)(a?b)1a?b

?

1a?b

)

?

2aa?b

2

2

解二:原式?( ?

)(

a?b

)?(

1a?b

?

1a?b

?

a?b?a?b(a?b)(a?b)

?

2aa?b

2

2

说明:在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。 例2:若a?b?3ab,则(1?

12

2

2

2b

3

3

a?b

)?(1?3

2ba?b

)的值等于( )

A. B. 0

3

3

C. 1

3

D.

23

解:原式?

a?b?2ba?b

a?b

23

3

33

?

ahttp://http:///news/55BB64658DC3371E.html?b?2ba?b

2

2

(a?b)(a?ab?b)a?b

?3???322

a?ba?b(a?b)(a?ab?b)a?b?

a?ab?ba?ab?b

2

22

a?b

故选A

?

3ab?ab3ab?ab

?

2ab4ab

?

12

[基本练习]

1. 已知:a?b?2,ab??5,则 A. ?

25

ab1951

?

ba

的值等于( ) D. ?

245

B. ?

145

C. ?

2. 已知x2?16x?1?0,求x3? 3. 计算:

1x

2

x

3

的值。

?

1x

2

?3x?2

11112222

?

1x?5x?6

2

?7x?12

?

1x

2

?9x?20

* 4. 若A?

99999999

?1?1

,B?

99999999

22223333

?1?1

,试比较A与B的大小。

1a

1b

1c

*5. 已知:a?b?c?0,abc?8,求证:

???0。

【答案】

1.

?a?b?2,ab??5?

?a?b

22

?(a?b)?2ab?14?

2

ab

?

ba

?

14?5

??

14 故选B 5

2.

1x

3

x?1x

36

1?x?

3

??

(x?1)(x?x?1)

x

3

242

?

16x(x?x?x?16x)

x

3

422

?16[3?

16(x?1)

x

2

]?16[3?

16?16x

x

]?16?259?4144

说明:此题反复运用了已知条件的变形,最终达到化简求值的目的。 3. 解:原式?

1(x?1)(x?2)

1x?11x?1

1x?21x?5

?

1(x?2)(x?3)

1x?2

2

?

1(x?3)(x?4)

1

1x?4

?

1(x?4)(x?5)

1

1x?5

???

??

?4

1x?3

?

?

x?3

??

x?4

?

x?6x?5

说明:本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分,简化计算。 4. 解:设a?9999

1111

,则A?

2

a?1a?1

42

,B?

a?1a?1

43

2

?A?B?

a?1a?1

2

?

a?1a?1

23

?

a?a?a?1?a?2a?1

(a?1)(a?1)

2

3

32

?

a(a?1)

2

3

(a?1)(a?1)

?0 ?A?B

5. 证明:?a?b?c?0

?(a?b?c)2?0,即a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?0

又?

a?b?c?

abc

??

16(a

2

?b?c) ?abc?8

22

?a、b、c均不为零

?a?b?c?0

2

2

2

?

1a

?

1b

?

1c

?0

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