换元法证明不等式

时间:2018-04-03 02:40:41
染雾
分享
WORD下载 PDF下载 投诉

换元法证明不等式

换元法证明不等式

已知a,b,c,d都是实数,且满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=4,求证:|ac+bd|≤2

a=cosA,b=sinA

c=2cosB,d=2sinB

|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB}=2|cos(A-B)|

<=2

得证

若x+y+z=1,试用换元法证明x+y+z≥1/3

解法一:(换元法)

证明:因为

(x-1/3)^2

+(y-1/3)^2+(z-1/3)^2≥0

展开,得

x^2+y^2+z^2-2/3*(x+y+z)+3*1/9≥0

x^2+y^2+z^2-2/3+1/3≥0

x^2+y^2+z^2≥1/3。

其中等号当且仅当x=y=z=1/3时成立

解法二:

因为:x+y+z=1

所以:(x+y+z)=1

化解为:x+y+z+2xy+2xz+2yz=1

又因为:

x+y≥2xy;

x+z≥2xz;

y+z≥2yz;

所以x+y+z+2xy+2xz+2yz=1<=3(x+y+z)

固x+y+z≥1/3

例1:已知a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥1/3

证明:令a=m+1/3,b=n+1/3,c=t+1/3,则m+n+t=0

∴a2+b2+c2=(m+1/3)2+(n+1/3)2+(t+1/3)2

=m2+n2+t2+2(m+n+t)/3+1/3

=m2+n2+t2+1/3

∵m2+n2+t2≥0, ∴a2+b2+c2≥1/3 得证。

换元的目的:转化、化简已知条件,使已知条件更易于使用。

例2:已知a>b>c,求证:1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c)

证明:令x=a-b,y=b-c,则a-c=x+y且x>0,y>0

∴原不等式转化为:1/x+1/y≥4/(x+y)

因此,只要证明:(x+y)/x+(x+y)/y≥4

只要证:1+y/x+1+x/y≥4

只要证:y/x+x/y≥2,而y/x+x/y≥2恒成立。

∴1/(a-b)+1/(b-c)≥4/(a-c) 得证。

换元的目的:

化简、化熟命题,把复杂的、不熟悉的命题化为简单的`、熟悉的命题。

例3:已知(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0,求证:(3-√5 )/2≤x2+y2≤ (3 +√5 )/2

证明:令x2+y2=t

由(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y2=0整理得:

(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1=-4x2

∴(x2+y2) 2-3(x2+y2)+1≤0

∴t2-3t+1≤0,解之得:(3-√5 )/2≤t≤(3 +√5 )/2

∴ (3-√5 )/2≤x2+y2≤(3 +√5 )/2 得证。

换元的目的:转化条件,建立条件与结论间的联系。

例4:已知x-1=(y+1)/2=(z-2)/3,求证:x2+y2+z2≥59/14

证明:设x-1=(y+1)/2=(z-2)/3=k,

则x=k+1,y=2k-1,z=3k+2

∴x2+y2+z2=(k+1) 2+(2k-1) 2+( 3k+2) 2

=14k2+10k+6

=14(k2+5k/7)+6

=14(k+5/14) 2+59/14≥59/14

∴x2+y2+z2≥59/14 得证。

换元的目的:减少未知数的个数,直接利用已知条件。

例5:已知a>0,求证:(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5<[1+(1+4a) 0.5]/2

证明:设t1=a 0.5,t2=(a+a 0.5) 0.5,……,tn=(a+(a+(a+(a+…+a 0.5) 0.5) 0.5) 0.5) 0.5

tn=(a+ tn-1) 0.5

tn2=a+ tn-1,且tn>0,而tn> tn-1

∴tn20

∴tn<[1+(1+4a) 0.5]/2 原不等式得证。

换元的目的:转换、化简命题

例6:已知a≥c>0,b≥c,求证:√c(a-c)+√c(b-c) ≤√ab

证明:要证明原不等式,只要证明:

√c(a-c)/ ab +√c(b-c)/ ab ≤1

只要证明:√(c/b)(1-c/a) +√c/a(1-c/b) ≤1

令sinα= √c/b ,sinβ=√c/a ,且α、β∈(0,π]

只要证明:sinαcosβ+cosαsinβ≤1

只要证明:sin(α+β)≤1,而sin(α+β)≤1显然成立

∴原不等式得证。

换元的目的:利用两个正数的和等于1进行三角换元,可以将原问题得到极大

程度的化简,在各种命题的解题中有着广泛的应用。

例7:已知a2+b2=c2,且a、b、c均为正数,求证:an+bn2且n∈N

证明:设a=csinα,b=ccosα。α∈(0,π/2)

则:an+bn=cnsinnα+ cncosnα=cn (sinnα+ cosnα)

∵0

换元法证明不等式

手机扫码分享

Top