因式分解的方法中学

时间:2016-09-05 04:19:23
染雾
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  导语:因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。下面小编为你整理的因式分解的方法中学,希望对你有所帮助!

  一、提公因式法

  各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。

  具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。

  【 例 】①-am+bm+cm=-m(a-b-c)②a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)

  二、运用公式法

  如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法。

  ①平方差公式:a-b=(a+b)(a-b);

  ②完全平方公式:a±2ab+b=(a±b) ;

  注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

  ③立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a-ab+b);

  ④立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a+ab+b);

  ⑤完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.

  【 例 】a+4ab+4b =(a+2b)

  三、分组分解法

  把一个多项式适当分组后,再进行分解因式的方法叫做分组分解法。用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此选择合理选择分组的方法,即分组后,可以直接提公因式或运用公式。

  【 例 】m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n = (m-5m)+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n).

  四、拆项、补项法

  这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式

法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

  【 例 】bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b).

  五、配方法

  对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

  【 例 】x+3x-40=x+3x+2.25-42.25=(x+1.5)-(6.5)=(x+8)(x-5).

  六、十字相乘法

  这种方法有两种情况:

  ①x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

  这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .

  ②kx+mx+n型的式子的因式分解

  如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).

  图示如下:

  a b

  ×

  c d

  例如:因为

  1 -3

  ×

  7 2

  且2-21=-19,所以7x-19x-6=(7x+2)(x-3).

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