勾股定理证明题

时间:2019-06-03 02:38:49
染雾
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勾股定理证明题

勾股定理证明题

已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为长边在△ABC外作矩形,使每个矩形的宽为长的一半

,S1、S2、S3分别表示这三个矩形的面积,则S1、S2、S3之间有什么关系?并证明你的.结论。(要详细解题过程)

因为D是AB的中点,DE垂直于DF于D

所以,∠EDF=90度,AC=2DF, BC=2DE

又因为,∠ACB=90度,∠EDF=90度,所以DE//BC,DF//AC

即,∠DFB=∠AED=90度

根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因为D是AB的中点,DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB,且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中, EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

因为D是AB的中点,DE垂直于DF于D

所以,∠EDF=90度,AC=2DF, BC=2DE

又因为,∠ACB=90度,∠EDF=90度,所以DE//BC,DF//AC

即,∠DFB=∠AED=90度

根据勾股定理 则有 AE^2=AD^2-DE^2-------(1)

BF^2=BD^2-DF^2-------(2)

又因为D是AB的中点,DE//BC,DF//AC。

所以EF//AB,且AD=BD=EF----------------(3)

在Rt△EDF中, EF^2 =DE^2+DF^2 = 2AD^2-(AE^2+BF^2)

即 EF^2=AE^2+BF^2

3

设MD,ME,MF分别交AC,BC,AB于P,Q,R,连接MA.MB,MC

由勾股定理

MB^2=MP^2+BP^2=MR^2+BR^2 (1)

BD^2=MP^2+PD^2=BF^2=BR^2+FR^2 (2)

CM^2=CP^2++MP^2=CQ^2+MQ^2 (3)

CD^2=PD^2+PC^2=CF^2=CQ^2+QF^2 (4)

MA^2=MQ^2+AQ^2=AR^2+MR^2 (5)

由(1)(2)(3)(4)(5)可得

AQ^2+MQ^2=AR^2+FR^2

即AE^2=AF^2

AE=AF

4已知△ABC为直角三角形 ,∠BAC=90°,D为B边中点,有一块直角三角板PMN,其中∠MPN=90°,将它放在△ABC上,使得其顶点P与D点重合,旋转三角板OMN,在旋转过程中,三角板的两条直角边DM、DN分别与AB、BC边所在直线交于点E、F,连接EF;

(1)当E、F分别在边AB、AC上时(如图1),求证:BE^2+CF^2=EF^2

(2)当E、F分别在边AB、AC所在的直线上时(如图2),线段BE、CE、EF之间的关系是否变化?请说明理由

(3)在图2中,若AB=6,AC=4,AE=1,求EF的长

5

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

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