勾股定理证明方法
勾股定理证明方法勾股定理的种证明方法(部分)
【证法1】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴
∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180―90= 90.
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90.
即 ∠CBD= 90.
又∵ ∠BDE = 90,∠BCP = 90,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴ .
【证法2】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90,∠BCA = 90,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【证法3】(赵浩杰证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90,
∴∠ABG +∠CBJ= 90,
∵∠ABC= 90,
∴G,B,I,J在同一直线上,
【证法4】(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD. 过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点
L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ ,即 .
[编辑本段]勾股定理的.别名
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三,股修四,经隅五”,其意为,在直角三角形中“勾三,股四,弦五”.因此,勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
[编辑本段]证明
这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。