构造法证明不等式

构造法证明不等式

由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的.应用.

一、构造一次函数法证明不等式

有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.

例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

证明：视a为自变量，构造一次函数

= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，

由0≤a≤2，知表示一条线段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，

= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，

可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

二、构造二次函数法证明不等式

对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函

例2 实数a、b、c满足( a+c)( a+b+c)<0，求证：( b-c )>4a( a+b+c).

证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a+c)( a+b+c)<0矛盾，

故a = 0时，( b-c )>4a( a+b+c)成立.

当a≠0时，构造二次函数= ax+( b-c )x+( a+b+c)，则有

= a+b+c，= 2(a+c)，而·= 2( a+c)( a+b+c)<0，

∴存在m，当-1