立体几何证明【优选3篇】

立体几何证明 篇一

在立体几何中，证明是一种重要的方法，可以帮助我们理解和解决各种几何问题。本文将介绍两个基本的立体几何证明。

证明一：等腰三角形的高线垂直于底边

假设 △ABC 是一个等腰三角形，其中 AB = AC。我们需要证明，高线 AD 垂直于底边 BC。

首先，连接 BD 和 CD，并延长高线 AD 到 E 点，如图所示。

A

/ \

/ \

/ \

/_______\

B C

根据等腰三角形的定义，我们知道角 BAC 等于角 CAB，因此线段 AB 和 AC 相等。结合三角形的性质，我们可以得出以下等式：

∠BAC = ∠CAB

由于直角是一个特殊的角，它的两个边垂直于彼此。因此，我们可以得出以下等式：

∠BAC + ∠CAD = 90°

∠CAB + ∠BAD = 90°

由于 ∠BAC = ∠CAB，我们可以将上述两个等式合并为以下等式：

∠BAC + ∠BAD = ∠CAB + ∠CAD = 90°

根据角的性质，我们可以得出以下结论：

∠BAD = ∠CAD

由于 ∠BAD 和 ∠CAD 是同一角的两个相等的角，它们的对边也是相等的。因此，我们可以得出以下结论：

BD = CD

最后，根据垂直线的定义，我们知道，如果一条线段与另一条线段相交，并且与另一条线段的两个垂直线相等，那么这条线段也是垂直于另一条线段的。根据这个定义，我们可以得出以下结论：

AD 垂直于 BC

因此，我们证明了等腰三角形的高线垂直于底边 BC。

证明二：平行线截割等比分割线段

假设有两条平行线 AB 和 CD，线段 AC 和 BD 相交于点 E。我们需要证明，线段 AE 和 CE 等比分割线段 AB。

首先，我们延长线段 CE 到 F 点，如图所示。

A_____________E______B

| | |

| | |

| | |

| | |

D_____________F______C

根据平行线的性质，我们知道 ∠AEC 和 ∠BFC 是同位角，它们的对边也是相等的。因此，我们可以得出以下结论：

AE/EB = CE/EF

接下来，我们需要证明线段 CE 和 EF 相似。由于线段 AC 和 BD 平行，根据相似三角形的性质，我们可以得出以下结论：

CE/AC = EF/BD

根据上述两个等式，我们可以得出以下结论：

AE/EB = CE/EF = CE/AC = EF/BD

由于线段 AC 等于线段 CE，我们可以将上述等式简化为以下等式：

AE/EB = EF/BD

根据等比分割线段的定义，我们知道，如果一条线段与另一条线段相交，并且与另一条线段的两个比例相等，那么这条线段将等比分割另一条线段。根据这个定义，我们可以得出以下结论：

线段 AE 和 CE 等比分割线段 AB

因此，我们证明了平行线截割等比分割线段的性质。

通过以上两个立体几何证明的例子，我们可以看到证明在几何学中的重要性。通过运用各种几何定理和性质，我们可以解决各种立体几何问题，并深入理解几何学的本质。

立体几何证明 篇三

立体几何证明

高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的`一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

2

四个判定定理：

① 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

② 如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

③ 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理：

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四个性质定理：

① 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

② 两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

③ 垂直于同一平面的两条直线平行。

④ 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明。

(2)立体几何初步这部分，我们希望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是采用了一种很