染雾用向量法证明 篇一
在数学中，向量法是一种常用的证明方法，它可以帮助我们简化复杂的问题，提供清晰的证明路径。本文将通过向量法证明一个关于三角形的性质。
首先，我们考虑一个三角形ABC。假设向量AB为a，向量BC为b，向量AC为c。我们的目标是证明三角形ABC的中线AE平分BC，即向量AE等于向量EC。
根据向量加法的性质，我们可以知道向量AC等于向量AB加上向量BC，即c = a + b。由于中线AE等于向量AB的一半，即AE = 1/2a。我们需要证明向量AE等于向量EC，即1/2a等于c的一半，即1/2a = 1/2(a + b)。
为了证明上述等式成立，我们可以将两边的向量都乘以2，得到a = a + b。通过向量减法的性质，我们可以得到0 = b。这意味着向量b为零向量，即三角形ABC的两边平行。
因此，我们通过向量法证明了三角形ABC的中线AE平分BC。
用向量法证明 篇二
在几何学中，向量法是一种常见的证明方法，它可以帮助我们推导出几何性质和定理。本文将使用向量法证明一个重要的定理——平行四边形的对角线互相平分。
我们假设有一个平行四边形ABCD，其中向量AB为a，向量AD为b。我们的目标是证明对角线AC和BD互相平分。
首先，我们需要证明向量AC等于向量BD。根据平行四边形的性质，向量AC等于向量AB加上向量BC，即AC = a + c。同样地，向量BD等于向量BA加上向量AD，即BD = a + b。
为了证明AC等于BD，我们可以将AC和BD相减，得到AC - BD = (a + c) - (a + b) = a + c - a - b = c - b。
现在，我们需要证明向量c - b等于零向量。如果c - b等于零向量，那么我们就证明了AC等于BD。
通过向量减法的性质，我们可以将c - b表示为向量c加上向量-b的结果，即c - b = c + (-b)。根据向量相反的性质，我们知道-b等于向量b的相反向量，即-b = -1 * b。
因此，c - b = c + (-1 * b) = c - b。由于向量加法的交换律，c + (-b)等于(-b) + c，即c - b = (-b) + c。
根据向量加法的结合律，我们可以得到c - b = (-b) + c = 0。这意味着向量c - b等于零向量。
因此，我们通过向量法证明了平行四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分。
用向量法证明 篇三
记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤3.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的.外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!
2
设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形
则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c
平方 (1)
向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d
平方 (2)
(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方
c平方=1/2(a+b)-d平方
AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2
3
已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理
过A做AG‖DC交EF于
P点
由三角形中位线定理有：
向量EP=向量BG
又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)
∴向量PF=(向量AD+向量GC)
∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)
∴向量EF=(向量AD+向量BC)
∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)
得证
4
先假设两条中线AD,BE交与P点
连接CP,取AB中点F连接PF
PA+PC=2PE=BP
PB+PC=2PD=AP
PA+PB=2PF
三式相加
2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF
3PA+3PB+2PC=2PF
6PF+2PC=2PF
PC=-2PF
所以PC,PF共线，PF就是中线
所以ABC的三条中线交于一点P
连接OD,OE,OF
OA+OB=2OF
OC+OB=2OD
OC+OC=2OE
三式相加
OA+OB+OC=OD+OE+OF
OD=OP+PD
OE=OP+PE
OF=OP+PF
OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP
由第一问结论
2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP
2PA+2PB+2PC=0
1/2AP+1/2BP+1/2CP
所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP
向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
