染雾篇一：常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明
在数值计算中，求解数值积分是一项非常重要的任务。常用的数值求积方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。本文将对这些常用的数值求积公式进行直接证明，并对其收敛性进行证明。
首先，我们来证明梯形法则的正确性。梯形法则是将待积函数在积分区间上进行线性插值，然后计算插值函数的定积分。设积分区间为[a, b]，将[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。对于每个小区间，我们可以用线性函数y=ax+b来拟合待积函数。根据插值函数的定义，我们可以得到插值函数的积分公式为：
∫[a, b] f(x)dx ≈ ∑[i=0, n-1] (f(xi)+f(xi+1))/2 * h
其中，xi和xi+1分别为小区间的左右端点。对上式进行化简，可以得到：
∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * (f(a) + 2∑[i=1, n-1] f(xi) + f(b))
这就是梯形法则的数值积分公式。通过对待积函数进行线性插值，我们得到了梯形法则的数值积分公式。
接下来，我们来证明梯形法则的收敛性。首先，我们定义误差项E为真实积分值与数值积分值之差：
E = ∫[a, b] f(x)dx - h/2 * (f(a) + 2∑[i=1, n-1] f(xi) + f(b))
我们需要证明当n趋向于无穷大时，误差项E趋向于0。根据泰勒展开定理，我们可以将待积函数在积分区间内进行泰勒展开，展开到一阶项得到：
f(x) = f(xi) + (x-xi)f'(xi) + O((x-xi)^2)
将上式代入到误差项E中，并进行化简，可以得到：
E = (b-a)/2 * (f'(ξ1) + f'(ξ2))
其中，ξ1和ξ2分别为积分区间[a, b]内的两个点。根据拉格朗日中值定理，我们可以得到：
f'(ξ1) + f'(ξ2) = 2f'(ξ)
其中，ξ为积分区间[a, b]内的一个点。将上式代入到误差项E中，可以得到：
E = (b-a)/2 * 2f'(ξ) = (b-a)f'(ξ)
由于f(x)在积分区间[a, b]上是连续的，所以f'(x)也是连续的。根据连续函数的性质，我们知道当n趋向于无穷大时，区间[a, b]的长度也趋向于无穷大。因此，当n趋向于无穷大时，误差项E趋向于0。这就证明了梯形法则的收敛性。
综上所述，我们通过直接证明和收敛性证明，验证了梯形法则的正确性和收敛性。在数值计算中，梯形法则是一种非常常用的数值求积公式，可以有效地对函数进行数值积分。
常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明 篇三
常用数值求积分公式的直接证明及收敛性的证明
考虑数值积分公式的直接证明问题,利用微分中值定理给出了数值积分的矩形公式和梯形公式的直接证明,然后给出了数值积分公式的收敛性的证明.
作 者：邢家省 张愿章 李争辉 Xing Jiasheng Zhang Yuanzhang Li Zhenghui 作者单位：邢家省,李争辉,Xing Jiasheng,Li Zhenghui(北京航空航天大学数学与系统科学学院;数学、信息与行为教育部重点实验室,
张愿章,Zhang Yuanzhang(华北水利水电学院,郑州,450011)
刊 名：河南科学 ISTIC 英文刊名： HENAN SCIENCES 年，卷(期)： 200927(8) 分类号： O177.2 关键词：数值积分公式 矩形公式 梯形公式 数值积分公式的收敛性