染雾精心设计教学环节，细化概念教学过程
作者：董荣森谢建金
中学数学：高中版 2015年05期
简单随机抽样是高中数学统计内容的起始课.本节课设计了温故知新、创设问题情境、学生活动、数学构建、数学应用等教学环节，让学生在这些环节中通过活动体验、理解“抽样”的必要性，以及如何科学地进行抽样，逐步归纳总结出抽签法、随机数表法等概念的形成过程，并利用关键词和流程图对抽样方法的步骤加以提炼.
一、设计理念与目标指向
“简单随机抽样”为普通高中课程标准试验教科书（苏教版）必修3第二章“统计”2.1抽样方法（第1课时）.数学课程标准强调从学生已有的生活经验出发，初步学会用数学的思维方式去观察、分析.概念教学一般可遵循“从实际中来—抽象数学模型—到实际中去”.在“简单随机抽样”这节课的教学设计中，笔者从日常生活中的实际问题情境入手，通过细化教学环节，让学生亲身经历把实际问题抽象成数学模型，再回到实际问题中解释与应用.
数学课程标准在刻画教学目标的动词中，不仅使用了“了解”“理解”“掌握和灵活运用”等词，而且还使用了“经历（感受）”“体验（体会）”“探索”等动词.因此，教师在概念教学中应重视知识的形成过程.为此，笔者在设计中通过对每一个概念的形成过程进行细化，让学生在实践活动中体验这些知识（抽样方法）的由来，对每次学生活动都引导学生进行归纳总结、提炼，理解这些抽样方法在实践中的价值.
本节课的教学目标是让学生正确理解随机抽样的概念，掌握用抽签法、随机数表法进行抽样的一般步骤，引导学生在解决统计问题的过程中，学会用抽签法和随机数表法（统称为“简单随机抽样”）从总体中抽取样本.通过活动让学生感受学习抽样统计的重要性和必要性.
二、内容解读与教学定位
数据能够帮助人们认识世界、作出科学的决策，而统计学正是与数据打交道的科学，用一句话来概括统计学：就是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的概念、法则和方法.由此可以看出：学习统计学有助于学生适应现代社会的需要，有助于培养学生形成数据意识以及运用数据进行推断的思考方式，有助于学生形成以数学的眼光看世界的习惯，增强学生运用数学分析问题、解决问题的能力.
在学习运用样本估计总体的过程中，通过对具体数据的分析，让学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差.但是如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据.由此让学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.
三、教学环节设计及其意图
（一）温故知新
【说说看】下列调查宜采用普查方式还是抽样调查方式？
（1）一锅水饺的味道；（抽查）
（2）旅客上飞机前的安全检查；（普查）
（3）一批炮弹的杀伤半径；（抽查）
（4）一批彩电的质量情况；（抽查）
（5）在“H7N9禽流感”期间，学校向上级主管部门汇报每天的病情.（普查）
设计意图：通过复习初中乃至小学所学过的统计知识，回顾抽查与普查的区别，引导学生理解为什么有些调查需要普查，有些调查通过抽查就可以，并由此导入新课.
（二）问题情境
【情境1】假设你作为一名食品卫生监督人员，要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验，你准备怎样做？
【情境2】学校的投影仪灯泡的平均使用寿命是3000小时，“3000小时”这样一个数据是如何得出的呢？
（三）学生活动
对于情境1，由于饼干的数量较大，不可能一一检测，只要从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本即可.
对于情境2，因为考察灯泡的使用寿命带有破坏性，所以只能从一批灯泡中抽取一部分（例如抽取10个）进行测试，然后用得到的这一部分灯泡的使用寿命的数据去估计这一批灯泡的寿命.
设计意图：通过情境1、2的设置，加深学生理解统计的基本思想方法是用样本估计总体，理解“抽样”的必要性.当总体容量很大时，收集全部数据比较困难或检测过程具有一定的破坏性.
（四）构建数学
【情境3】在1936年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志的工作人员做了一次民意测验，调查兰顿和罗斯福谁将当选下一届总统.为了了解公众意向，调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表（在1936年电话和汽车只有少数富人拥有），通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎.于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜.实际选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜.其数据如下表：
【问题1】如何科学地进行抽样呢？
【归纳总结1】要使得样本能比较准确地反映总体，抽样时必须坚持科学的抽样标准：“每一个个体被抽到的机会相同”.
设计意图：有时抽出的样本能够正确反映总体情况，但有时不能全面、客观、公正，甚至是错误地反映总体情况，通过情境3的设计，让学生认识到如何科学合理地进行抽样，让学生去说“调查中只抽富人没有抽穷人”，教师进行提炼归纳出“每一个个体被抽到的机会相同”.顺其自然地过渡到简单随机抽样概念的得出.
1.简单随机抽样的概念
一般地，从个体数为N的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n＜N），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这种抽样方法称为简单随机抽样.
说明：让学生通过概念中的字面意思去理解，强调四点：容量有限；逐个抽取；不放回抽样；机会相同.
2.常见的简单随机抽样
（1）抽签法
【问题2】为了解某校高一（1）班50名学生的视力状况，从中抽取10名学生进行检查，你打算如何实施？
点拨：全查没有配戴眼镜的学生行吗？全查女同学行吗？全查男同学行吗？……
【归纳总结2】一般地，用抽签法从个体总数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤：
①将总体中的N个个体编号；（编号）
②将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；（制签）
③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；（搅匀）
④从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次；（抽签）
⑤将总体中与抽到的号签编号一致的k个个体取出.（取样）
设计意图：通过问题2的设计，让学生大胆地说出自己的想法与打算，教师启发从而归纳出从容量为N的总体中抽取一个容量为k的样本的一般步骤，并引导学生对此进行提炼：编号、制签、搅匀、抽签、取样，并将其用流程图（如图1）加以表征.由此将思维的空间留给了学生，将教学创造的空间让给了教师.
【随堂检测】
下列抽取样本的方式属于简单随机抽样吗？为什么？
①从无限多个个体中抽取100个个体作样本；（不是）
②箱子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行质量检验后，再把它放回箱子.（不是）
③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）.（是）
设计意图：通过三个问题的判断，让学生加深对简单随机抽样定义的认识，起到巩固和反馈的作用.
（2）随机数表法
【问题3】要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，若用抽签法，你感觉怎么样？
设计意图：让学生感受到当总体容量比较大时，编号、制签都比较麻烦，那么有没有简化制签的方法呢？由此自然顺利地过渡到随机数表法，起到承上启下的作用.
阅读教材第44～45页，思考下列问题：
①随机数表的定义？
②随机数的产生方法主要有哪些？
③运用随机数表法抽取样本的一般步骤？
◆随机数表：制作一个表（由数字0、1、2、…、9组成），表中各个位置上的数都是随机产生的（随机数），即每个数字在表中各个位置上出现的机会都是一样的.
◆随机数产生：①抽签法；②抛掷骰子法；③计算机生成法.
◆随机数表法：用随机数表进行抽样的方法.
设计意图：让学生带着问题去阅读教材和自主学习随机数表法，目的是培养学生的自学能力、阅读能力.
对于问题3，若用随机数表法抽取，如何来具体实施呢？
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000、001、…、799.
第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的.数7.（为了便于说明，下面选取了教材第124页附录1：随机数表的第6行至第10行）
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本.
【归纳总结3】用随机数表法抽取样本的步骤：
①将总体中的个体编号（每个号码位数一致）；（编号）
②在随机数表内任选一个数作为开始；（定位）
③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出，若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；（取数）
④根据选定的号码抽取样本.（取样）
设计意图：加深对随机数表的理解，启发学生如何正确的编号、如何用随机数表进行取数，把握编号的科学性和取数的随机性；引导学生对用随机数表法抽取样本的步骤进行归纳与提炼：编号、定位、取数、取样，并将其用流程图（如图2）加以表征.
（五）数学运用
某学校高一年级共100名学生，为了了解这些学生的身高状况，从中抽取一个容量为10的样本.试分别给出用抽签法和随机数表法进行抽样的操作步骤.
解法1：（抽签法）将100名学生编号为1、2、…、100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后抽取这10个号签对应的学生.
解法2：（随机数表法）将100名学生编号为00、01、…、99，在随机数表中选定一个起始位置，如从第21行第1个数开始，选取10个为68、34、30、13、70、55、74、77、40、44，这10名学生即为所要抽取的样本.
设计意图：通过本例题的设计，一是加深学生对用抽签法与随机数表法抽取的步骤的理解；二是总结归纳两种方法的优缺
（六）课堂小结
◆学了什么？
一个定义：简单随机抽样.
二种方法：（1）抽签法；（2）随机数表法.
三大特性：（1）代表性；（2）等可能性；（3）随机性.
◆为什么学？
（1）总体容量大，收集全部数据很困难；
（2）检验时带有“破坏性”；
（3）科学预测与决策、文明社会发展……
◆怎么学？
自主学习、合作学习、体验学习等.
◆学的怎么样？
（由学生回答）
设计意图：课堂小结的方式有很多类型，如流程图型、知识点梳理型、概括式等.笔者通过渐进式小结，即学了什么（本节课所学的知识），为什么学（解决学习的目的），怎么学（掌握学习的方法，自主、合作、探究学习等），学的怎么样（评价问题，最好的评价是学生自评）.
四、思考与感悟
数学概念教学是中学数学教学的重要组成部分.教师一定要根据学生的认知规律，注重概念的形成过程，保证数学概念教学的质量，提高学生的学习能力.
1.精心设计教学环节，让学生在活动中获得能力
本节课开始笔者设计了几道有关普查与抽查的小题，通过创设三个不同思维层次的情境逐渐深入，让学生意识到当总体容量较大或检验过程带有破坏性时，只要从中抽取一定数量的个体作为检验的样本；当每个个体被抽到的机会相同时，这样的简单随机抽样才是科学、合理的抽样；当抽签法和随机数表法的一般步骤由学生进行总结提炼时，才能够发现学生的潜能是如此的巨大；当学生能够向老师提出问题时，学生才获得真正的能力.如：用随机数表法第一步是编号：00、01、02、…，有学生问为什么要这样编号，而不是1、2、3、…？其实这样编号的目的就是公平、合理的体现，同时也是数学中数字美的展现.
2.细化概念教学过程，揭示数学概念本质
笔者在教学环节设计过程中，做到预设与生成、细腻与重点突出，每一部分内容学习过后，对思想方法和知识点进行梳理归纳提炼.知识点之间过渡与衔接中，笔者也花了很大的工夫，如从抽签法如何过渡到随机数表法，笔者创设问题3情境，当总体的容量很大时，让学生感受到编号、制签都比较麻烦，提出有没有简化制签的方法，顺其自然引出随机数表法.
总之，数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式.它是思维的细胞，是构成数学知识大厦的基石，是进行逻辑思维的第一要素，是数学思想和方法的载体，也是解决数学问题的前提.因此，在数学教学中，要重视概念教学，通过精心设计教学环节，细化概念教学过程，引导学生亲身、主动地经历概念的形成过程，从而让学生真正掌握数学概念.
作者介绍：董荣森，谢建金，江苏省怀仁中学.
