染雾一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.(4分)(2014年安徽省)(﹣2)×3的结果是( )
A. ﹣5 B. 1 C. ﹣6 D. 6
考点： 有理数的乘法.
分析： 根据两数相乘同号得正，异号得负，再把绝对值相乘，可得答案.
解答： 解：原式=﹣2×3
=﹣6.
故选：C.
点评： 本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的运算.
2.(4分)(2014年安徽省)x2x3=( )
A. x5 B. x6 C. x8 D. x9
考点： 同底数幂的乘法.
分析： 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即aman=am+n计算即可.
解答： 解：x2x3=x2+3=x5.
故选A.
点评： 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键.
3.(4分)(2014年安徽省)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
考点： 简单几何体的三视图.
分析： 俯视图是从物体上面看所得到的图形.
解答： 解：从几何体的上面看俯视图是 ，
故选：D.
点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.
4.(4分)(2014年安徽省)下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A. a2+1 B. a2﹣6a+9 C. x2+5y D. x2﹣5y
考点： 因式分解的意义.
分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案.
解答： 解：A、C、D都不能把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A、C、D不能因式分解;
B、是完全平方公式的形式，故B能分解因式;
故选：B.
点评： 本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键.
5.(4分)(2014年安徽省)某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(单位：mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度的数据在8≤x<32这个范围的频率为( )
棉花纤维长度x 频数
0≤x<8 1
8≤x<16 2
16≤x<24 8
24≤x<32 6
32≤x<40 3
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.2
考点： 频数(率)分布表.
分析： 求得在8≤x<32这个范围的频数，根据频率的计算公式即可求解.
解答： 解：在8≤x<32这个范围的频数是：2+8+6=16，
则在8≤x<32这个范围的频率是： =0.8.
故选A.
点评： 本题考查了频数分布表，用到的知识点是：频率=频数÷总数.
6.(4分)(2014年安徽省)设n为正整数，且n<
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
考点： 估算无理数的大小.
分析： 首先得出 < < ，进而求出 的取值范围，即可得出n的值.
解答： 解：∵ < < ，
∴8< <9，
∵n<
∴n=8，
故选;D.
点评： 此题主要考查了估算无理数，得出 < < 是解题关键.
7.(4分)(2014年安徽省)已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为( )
A. ﹣6 B. 6 C. ﹣2或6 D. ﹣2或30
考点： 代数式求值.
分析： 方程两边同时乘以2，再化出2x2﹣4x求值.
解答： 解：x2﹣2x﹣3=0
2×(x2﹣2x﹣3)=0
2×(x2﹣2x)﹣6=0
2x2﹣4x=6
故选：B.
点评： 本题考查代数式求值，解题的关键是化出要求的2x2﹣4x.
8.(4分)(2014年安徽省)如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )
A. B. C. 4 D. 5
考点： 翻折变换(折叠问题).
分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△ABC中，x2++32=(9﹣x)2，
解得x=4.
故线段BN的长为4.
故选：C.
点评： 考查了翻折变换(折叠问题)，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大.
9.(4分)(2014年安徽省)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
考点： 动点问题的函数图象.
分析： ①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解.
解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4;
②点P在BC上时，3
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ = ，
即 = ，
∴y= ，
纵观各选项，只有B选项图形符合.
故选B.
点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论.
10.(4分)(2014年安徽省)如图，正方形ABCD的对角线BD长为2 ，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为 ;
②A、C两点到直线l的距离相等.
则符合题意的直线l的条数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考点： 正方形的性质.
分析： 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD= ，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答.
解答： 解：如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为2 ，
∴OD= ，
∴直线l∥AC并且到D的距离为 ，
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l.
故选B.
点评： 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于 是本题的关键.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.(5分)(2014年安徽省)据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户，其中25000000用科学记数法表示为 2.5×107 .
考点： 科学记数法—表示较大的数.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
解答： 解：将25000000用科学记数法表示为2.5×107户.
故答案为：2.5×107.
点评： 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.(5分)(2014年安徽省)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= a(1+x)2 .
考点： 根据实际问题列二次函数关系式.
分析： 由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x)，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式.
解答： 解：∵一月份新产品的研发资金为a元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为a×(1+x)，
∴三月份的研发资金为y=a×(1+x)×(1+x)=a(1+x)2.
故填空答案：a(1+x)2.
点评： 此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a(1±x)2=b来解题.
13.(5分)(2014年安徽省)方程 =3的解是x= 6 .
考点： 解分式方程.
专题： 计算题.
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
解答： 解：去分母得：4x﹣12=3x﹣6，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解.
故答案为：6.
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
14.(5分)(2014年安徽省)如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ①②④ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF= ∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
考点： 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得出对应线段之间关系进而得出答案.
解答： 解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF= ∠BCD，故此选项正确;
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDE，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确;
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△BEC<2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误;
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确.
故答案为：①②④.
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.(8分)(2014年安徽省)计算： ﹣|﹣3|﹣(﹣π)0+2013.
考点： 实数的运算;零指数幂.
专题： 计算题.
分析： 原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，计算即可得到结果.
解答： 解：原式=5﹣3﹣1+2013
=2014.
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16.(8分)(2014年安徽省)观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92﹣4× 4 2= 17 ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.
考点： 规律型：数字的变化类;完全平方公式.
分析： 由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.
解答： 解：(1)32﹣4×12=5 ①
52﹣4×22=9 ②
72﹣4×32=13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42=17;
(2)第n个等式为：(2n+1)2﹣4n2=2(2n+1)﹣1，
左边=(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，
右边=2(2n+1)﹣1=4n+2﹣1=4n+1.
左边=右边
∴(2n+1)2﹣4n2=2(2n+1)﹣1.
点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.(8分)(2014年安徽省)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1;
(2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.
考点： 作图—相似变换;作图-平移变换.
分析： (1)利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案;
(2)利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案.
解答： 解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求.
点评： 此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键.
18.(8分)(2014年安徽省)如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km;BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离(结果保留根号).
考点： 解直角三角形的应用.
分析： 过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G.在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解.
解答： 解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G.
在Rt△ABE中，BE=ABsin30°=20× =10km，
在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷ = km，
CF=BFsin30°= × = km，
DF=CD﹣CF=(30﹣ )km，
在Rt△DFG中，FG=DFsin30°=(30﹣ )× =(15﹣ )km，
∴EG=BE+BF+FG=(25+5 )km.
故两高速公路间的距离为(25+5 )km.
点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.(10分)(2014年安徽省)如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点.若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长.
考点： 垂径定理;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.
专题： 计算题.
分析： 由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9;接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3 ，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6 .
解答： 解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF=90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC=90°，
而∠EOF=∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，
∴⊙O的半径OC=9;
在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，
∴CF= =3 ，
∵OF⊥CD，
∴CF=DF，
∴CD=2CF=6 .
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质.
20.(10分)(2014年安徽省)2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元.从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨.若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元.
(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨?
(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?
考点： 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.
分析： (1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程.
(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解.
解答： 解：(1)设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得
，
解得 .
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨;
(2)设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，
，
解得x≥60.
a=100x+30y=100x+30(240﹣x)=70x+7200，
由于a的值随x的增大而增大，所
最小值=70×60+7200=11400(元).
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.
点评： 本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键;
六、(本题满分12分)
21.(12分)(2014年安徽省)如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1;
(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少?
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率.
考点： 列表法与树状图法.
专题： 计算题.
分析： (1)三根绳子选择一根，求出所求概率即可;
(2)列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率.
解答： 解：(1)三种等可能的情况数，
则恰好选中绳子AA1的概率是 ;
(2)列表如下：
A B C
A1 (A，A1) (B，A1) (C，A1)
B1 (A，B1) (B，B1) (C，B1)
C1 (A，C1) (B，C1) (C，C1)
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P= = .
点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
