求和问题的解决
(配合义务教材第七册使用)
[问题情景]
学校组织看电影了。数学老师让同学们留心观察影剧院的座位排数和每排座位数,并要求算出影剧院共有多少个座位。第二天,同学们先把观察到的情况向老师汇报如下:这个影剧院第一排有22个座位,每排的后一排都比前一排多2个座位,最后一排有68个座位,共24排。老师听后,问:你们算出了这个影剧院共有多少个座位吗?同学们讲出了各自的解答。但,老师对同学们的解答并不满意,因为他们的解答几乎相同———都较繁锁。
[问题诠释]
要计算共有多少个座位,也就是求这样一列数“22,24,26,28……64,66,68”之和。若从22开始一个接一个相加求和,就显得繁锁,但仔细分析这列数,它有一个明显的特点:从第二个数起,后一个数减去前一个数的差都是2,根据这列数的排列特点,在求它们的`和时,应用加法交换律和结合律,容易发现:22+68=24+66=26+64=28+62=……=90,即第一个数加最后一个数,第二个数加倒数第二个数,第三个数加倒数第三个数,……,和都等于90。这2
4个数相加,有多少个90呢?很显然有12个。所以22+24+26+……+64+66+68=90×12=1080就是说,利用这种方法计算,很快就能知道这个影剧院共有1080个座位。[建立模式]
上述一列数中,第一个数称为首项,第二个数称为第二项,依此类推,最后一个数称为末项,这列数一共有24项。如果一列数,从第二项起,每一项减去它前面一项的差都等于同一个定数(这一个定数叫做公差),那么,这样一列数的和,可以用“(首项+末项)×项数÷公差”来求出,且计算简洁准确。
[问题解决]
1.小明为测量一座高楼的高度,他站在高楼的顶上,让一物体从他的脚边自由掉下,后测得物体第一秒钟落下4.9米,以后每秒多落下9.8米,经过10秒钟到达地面。这座高楼共有多高?分析:根据题意,可知
第一秒落下:4.9=4.9+9.8×(1-1)
第二秒落下:4.9+9.8=4.9+9.8×(2-1)
第三秒落下:4.9+9.8+9.8=4.9+9.8×(3-1)
……
第10秒落下:4.9+9.8×(10-1)=93.1
所以,这座楼的高为(4.9+93.1)×10÷2=490(米)
2.某体育馆的一个侧看台,第一排有32个座位,后面的每一排都比前一排多2个座位,最后一排是88个座位,正常情况下,这侧看台可容纳多少人观看节目?
简析:根据“项数=(末项-首项)÷公差+1”,可求出座位排数为(88-32)÷2+1=29(排),这
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