带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

时间:2015-04-02 08:26:39
染雾
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带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

在高三物理复习中,带电粒子在磁场中的运动的问题是重点内容。其中有一类最小面积的问题,这类问题的规律性很强,本文作一归纳,供大家参考。   已知带电粒子的进、出磁场的方向,带电粒子在磁场中运动,轨迹圆的圆心在以进出磁场方向夹角的角分线上。由已知条件求轨迹圆半径并在对角线上确定位置,画出运动轨迹,就可以确定磁场的最小面积。下面我就以几道典型题验证这个思路。   例题1.一匀强磁场,磁场方向垂直于xoy平面,在xy平面上,磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的电带粒子,由原点O开始运动,初速度为v,方向沿x正方向。后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为30°,P到O的距离为L,如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。   解:粒子在磁场中受洛伦兹力作用,做匀速圆周运动,设其半径为r,   qvB=m■①   据此并由题意知,粒子在磁场中的`轨迹的圆心C必在y轴上,且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线,它与x轴相交于Q点。作角PQO的对角线,与y轴的交点就是C点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C,如图所示。   由图中几何关系得   L=3r②   由①、②求得   B=■③   图中OA的长度即圆形磁场区的半径R,由图中几何关系可得   R=■L④   例题2.如图所示,第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B■,E的大小为0.5×10■V/m,B■大小为0.5T;第一象限的某个矩形区域内,有方向垂直纸面向里的匀强磁场B■,磁场的下边界与x轴重合。一质量m=1×10■kg、电荷量q=1×10■C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°

角从M点沿直线运动,经P点即进入处于第一象限内的磁场B■区域。一段时间后,小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0,-10),N点的坐标为(0,30),不计粒子重力,g取10m/s■。   (1)请分析判断匀强电场E■的方向并求出微粒的运动速度v;   (2)匀强磁场B■的大小为多大?   (3)B■磁场区域的最小面积为多少?   解:(1)由于重力忽略不计,微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力的作用,且微粒做直线运动,速度的变化会引起洛伦兹力的变化,所以微粒必做匀速直线运动。这样,电场力和洛仑兹力大小相等,方向相反,电场E的方向与微粒运动的方向垂直,即与y轴负方向成60°角斜向下。(2分)   由力的平衡有   Eq=B■qv   ∴v=■=■m/s=10■m/s   (2)作进出磁场方向的夹角,作出夹角的对角线,圆心就在对角线上。半径垂直于MP。画出微粒的运动轨迹如图。   由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为R=■m   微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,即   qB■v=m■   解之得B■=■T   (3)由图可知,磁场B■的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内。   由几何关系易得PD=2Rsin60°=0.2m   PA=R(1-cos60°)=■m   所以,所求磁场的最小面积为S=■·■=■×■=■m■   例题3.一个质量为m,带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力。试求:   (1)该粒子在磁场里运动的时间t;   (2)该正三角形区域磁场的最小边长;   (3)画出磁场区域及粒子运动的轨迹。   解:   (1)如图,正三角形区域磁场的边长最小时,三角形DEF为磁场区域,⊙O为粒子运动的轨迹,与三角形DEF的两边DE、DF相切。   (2)由qvB=m■,且周期T=■,得轨迹半径r=■,T=■.   该粒子在磁场里运动的时间t=■T,即t=■.   (3)DG为底边EF上的高,DG=DO+OG=2r+rcos30°,则正三角形区域磁场的最小边长为:   L=■=■,解得L=■(■+1).   对于这类问题,正确画出运动轨迹和确定圆心是解决的关键。

带电粒子在磁场中的运动的最小面积问题

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