余弦定理的证明方法

时间:2011-04-02 02:28:17
染雾
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余弦定理的证明方法

  在日常的学习、工作、生活中,大家总少不了要接触或使用证明吧,证明是由机关、学校、团体等发的证明自己身份、经历或某事真实性的一种凭证。拟起证明来就毫无头绪?以下是小编收集整理的余弦定理的证明方法,仅供参考,大家一起来看看吧。

  余弦定理的证明方法

  在△ABC中,AB=c、BC=a、CA=b

  则c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

  a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

  b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此类推。

  过A作AD⊥BC于D,则BD+CD=a

  由勾股定理得:

  c^2=(AD)^2+(BD)^2,(AD)^2=b^2-(CD)^2

  所以c

^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

  =(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

  =a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

  =a^2+b^2-2a*CD

  因为cosC=CD/b

  所以CD=b*cosC

  所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

  在任意△ABC中, 作AD⊥BC.

  ∠C对边为c,∠B对边为b,∠A对边为a -->

  BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c

  勾股定理可知:

  AC=AD+DC

  b=(sinB*c)+(a-cosB*c)

  b=sinB*c+a+cosB*c-2ac*cosB

  b=(sinB+cosB)*c-2ac*cosB+a

  b=c+a-2ac*cosB

  所以,cosB=(c+a-b)/2ac

  2

  如右图,在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点,AC所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是C点坐标是(b,0),由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA). 现将CB平移到起点为原点A,则AD = CB . 而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C , 根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C),asin(π-C)) 即 D点坐标是(-acosC,asinC), ∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB ∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA) ∴ asinC = csinA …………① -acosC = ccosA-b ……② 由①得 asinA = csinC ,同理可证 asinA = bsinB , ∴ asinA = bsinB = csinC . 由②得 acosC = b-ccosA ,平方得: a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A , 即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A . 而由①可得 a2sin2C = c2sin2A ∴ a2 = b2 + c2-2bccosA . 同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB , c2 = a2 + b2-2abcosC . 到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△ABC的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:

  mb=(1/2)[(√2(a^2+c^2)-b^2)]

  mc=(1/2)[(√2(a^2+b^2)-c^2)]ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

  =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

  由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

  ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

  =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

  同理可得:

  mb=

  mc=

  4

  ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosB)

  =(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosB)

  由b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

  得,4ac*cosB=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表达式:

  ma=(1/2)√[4c^2+a^2-(2a^2+2c^2-2b^2)]

  =(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

  证毕。

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