染雾三角形练习题(含答案和解释)
一、选择题
1．在△ABC中，下列a与bsin A的关系正确的是( )
A．a>bsin A
B．a≥bsin A
C．a<bsin A
D．a≤bsin A
【解析】 由正弦定理得asin A＝bsin B，所以a＝bsin Asin B，又因为sin B∈(0，1]，所以a≥bsin A。
【答案】 B
2．△ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝22，则符合条件的.三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
【解析】 ∵asin B＝102，asin B<b＝3<a＝5，符合条件的三角形有2个。
【答案】 B
3．在△ABC中，若A＝75°，B＝45°，c＝6，则△ABC的面积为( )
A．9＋33
B.9（6－2）2
C.9＋332
D.9（6＋2）2
【解析】 A＝75°，B＝45°，C＝60°，b＝csin Bsin C＝6×2232＝26，S△ABC＝12bcsin A＝12×26×6×6＋24＝9＋33。
【答案】 A
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acs B＋acs C＝b＋c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【解析】 acs B＋acs C＝b＋c，故由正弦定理得，sin Acs B＋sin Acs C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得：cs A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，cs A＝0，即A＝π2，△ABC为直角三角形。
【答案】 D
5．(2012天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cs C＝( )
A.725
B．－725
C．±725
D.2425
【解析】 由bsin B＝csin C，且8b＝5c，C＝2B，所以5csin 2B＝8csin B，所以cs B＝45.所以cs C＝cs 2B＝2cs2B－1＝725.x b 1。
【答案】 A
二、填空题
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理bsin B＝csin C得b＝csin Bsin C＝1×2232＝63。
【答案】 63
7．(2013济南高二检测)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________．
【解析】 A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，B＝60°，由正弦定理得sin A＝asin Bb＝1×sin 60°3＝12，又a<b，A＝30°，C＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C＝1。
【答案】 1
8．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．
【解析】 由于S△ABC＝3，BC＝2，C＝60°，3＝12×2AC32，AC＝2，△ABC为正三角形，AB＝2。
【答案】 2
三、解答题
9．在△ABC中，c＝6，A＝45°，a＝2，求b和B，C。
【解】 ∵asin A＝csin C，sin C＝csin Aa＝6×sin 45°2＝32，csin A＜a＜c，∴C＝60°或C＝120°，当C＝60°时，B＝75°，b＝csin Bsin C＝6sin 75°sin 60°＝3＋1，当C＝120°时，B＝15°，b＝csin Bsin C＝6sin 15°sin 120°＝3－1.b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°。
10．在△ABC中，如果lg a－lg c＝lgsin B＝－lg 2，且B为锐角，判断此三角形的形状。
【解】 由lg a－lg c＝lgsin B＝－lg 2，得sin B＝22，又B为锐角，B＝45°，又ac＝22，∴sin Asin C＝22，sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，sin C＝sin C＋cs C，cs C＝0，即C＝90°，故此三角形是等腰直角三角形。
11．在△ABC中，已知tan B＝3，cs C＝13，AC＝36，求△ABC的面积。
【解】 设△ABC中AB、BC、CA的长分别为c、a、b，由tan B＝3，得B＝60°，sin B＝32，cs B＝12，又cs C＝13，sin C＝1－cs 2C＝223，由正弦定理得c＝bsin Csin B＝36×22332＝8，又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝36＋23，三角形面积S△ABC＝12bcsin A＝62＋83。
