染雾梅涅劳斯定理 篇一
梅涅劳斯定理，又称为梅涅劳斯定理定理，是数学中的一个重要定理，用于描述一个连续函数在闭区间上的存在性。该定理由法国数学家梅涅劳斯于19世纪提出，被广泛应用于微积分和实分析领域。
梅涅劳斯定理的表述比较简洁，即如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在该区间的两个端点处的函数值异号，则在这个闭区间内至少存在一个根。换句话说，如果一个函数在一个区间的两个端点处的函数值异号，那么在这个区间内至少存在一个根。
这个定理的证明思路也比较直观，通过利用连续函数的性质和零点的定义，可以很容易地证明这个结论。梅涅劳斯定理的应用范围非常广泛，可以用于解决实际问题中的根的存在性问题，对于数值计算和优化问题也有很大的帮助。
在实际应用中，梅涅劳斯定理可以帮助我们判断一个函数在一个区间内是否存在根，从而可以进一步进行求解或优化操作。在数值计算中，通过梅涅劳斯定理可以有效地缩小搜索范围，提高计算效率。在实际问题中，我们经常会遇到需要求解函数根的情况，而梅涅劳斯定理为我们提供了一种简单而有效的判断方法。
总的来说，梅涅劳斯定理是数学中一个非常重要的定理，它为我们提供了一种判断连续函数根的存在性的方法，帮助我们在实际问题中更加高效地求解根的问题。
梅涅劳斯定理 篇二
梅涅劳斯定理是微积分中一个非常重要的定理，它在分析函数的根的存在性上发挥着重要作用。梅涅劳斯定理的表述简洁明了，但其证明过程却颇具深度和技巧性。
梅涅劳斯定理的证明思路主要基于连续函数的性质和零点的定义。通过构造一个辅助函数，利用介值定理和零点的定义，可以比较直观地证明梅涅劳斯定理。这个证明过程虽然不难，但需要对连续函数和介值定理有一定的理解和掌握。
梅涅劳斯定理在实际问题中有着广泛的应用。在数值计算和优化问题中，我们经常需要判断一个函数在一个区间内是否存在根，而梅涅劳斯定理为我们提供了一个简单而有效的方法。通过利用梅涅劳斯定理，我们可以快速判断一个函数在一个区间内是否存在根，从而可以更加高效地进行计算和优化操作。
总的来说，梅涅劳斯定理是微积分中一个非常实用的定理，它为我们提供了一种判断连续函数根的存在性的方法，帮助我们在实际问题中更加高效地求解根的问题。通过深入理解和熟练运用梅涅劳斯定理，我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题，提高计算和优化的效率。
梅涅劳斯定理 篇三
定理叙述
设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
注意：
最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）
证明： 过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，
AD：DB=AA'：BB'
BE：EC=BB'：CC'
CF：FA=CC'：AA'
所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1
梅涅劳斯定理 篇四
1.定理的条件已经具备
，正向或反向应用定理。
例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。 分析：目标明确，写出比例式就行了。
例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。
例：
分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的`交点是非常自然的。
例：
如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。
分析：没啥好分析的。
总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。
2.几个不适合用梅氏定理的例子。
例：
如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。 分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……
总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。
例：
两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。
x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。（用了定比分点）
此时中间两个线段分点比例可由a,b,c,d,p,q,m,n给出。请自行练习
x,y,z,w等8个数看作所在点纵坐标，此时中间两个线段分点比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n给出，且与上面结果相同。这表明图中里边的线段分点比例只与外围分点比例有关，与外围线段长度，夹角无关。
等价的，引理：如图三点共线。则保持图中线段分点比例不变，旋转，平移，均匀伸缩粉色线段，会使三个黑点仍然/news/55A54887FD48C7B6.html共线。
看原题中的图，两条直线交于O,根据梅氏定理，G,H,I分所在线段比例由OA:AB:BC
OD:DE:EF确定。只要保持这两个连比不变，G,H,I分所在线段比例不变。根据引理，G,H,I分所在线段比例不变情况下证明了三点共线，则间接证明了原题。所以，令角AOD为直角，O为坐标原点。下略。
总结：不应刻意追求代数流或纯几何，自然为上。
3 比较该定理和赛瓦定理
联系：基本图形接近。我们试图用下图统一两个定理。
三角形ADO，截线BC,有梅氏定理。
三角形ADC, 截线OB，有梅氏定理。
三角形ABC, 点O,有塞瓦定理等等 这个图的补注：
代数方法解几何题综合考虑两点：1 用尽量少的未知数标识图形。2为了保持对称性和形式的简洁，可以适当增加未知数。这个图形可以用五个未知数表示。三角形三边，以及am,ak。
我们用了9个，现在找一下多出来的4个。首先。x,y,z可以用其它6个字母表示，这样找到多出来的3个。外围我们用a/b b/c c/a表示乘积为1的三个正数，其实可以只用两个字母。a，b ，1/ab 。为了简洁和对称，多用了一个。
区别 ：描述的数学事实不同。三点共线和三线共点。
梅涅劳斯定理 篇五
D,E,F三点共线，三角形DEF面积为零。下面这个定理说的是三角形DEF面积不为零的情况。（李建泉）
建议从两个层次理解定理
1 定性。三角形三边上取分点，则分点确定的三角形面积与原三角形面积比由三个分点比值唯一确定。
2 定量。也就是定理中的结论部分。
2010-9-29
