染雾椭圆的知识点总结 篇一
椭圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。本文将对椭圆的定义、性质和相关公式进行总结和归纳。
首先，我们来看椭圆的定义。椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个定点称为焦点，常数称为焦距。椭圆也可以看作是一个平面上到一条固定直线的距离之和等于常数的点的集合。这条直线称为准线，常数称为准距。
椭圆有许多重要的性质。首先，椭圆的中心位于准线的中点。其次，椭圆有两个对称轴，分别与准线垂直，并且相交于椭圆的中心。这两个对称轴称为主轴和次轴。主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。椭圆的长轴和短轴之间的比值称为椭圆的离心率，表示椭圆的扁平程度。离心率小于1的椭圆称为椭圆，离心率等于1的椭圆称为圆，离心率大于1的椭圆称为双曲线。
椭圆的面积和周长可以用一些公式来计算。椭圆的面积等于长轴和短轴的乘积再乘以π。椭圆的周长等于2π乘以长轴和短轴的平均值。此外，椭圆也有一些特殊的性质。例如，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。椭圆上的任意一点到准线的距离之和等于椭圆的短轴的长度。
在实际应用中，椭圆有许多重要的用途。例如，在天体力学中，椭圆被用来描述行星和卫星的轨道。在无线通信中，椭圆被用来描述信号的传播范围。在电子工程中，椭圆被用来设计天线和滤波器。在建筑设计中，椭圆被用来设计拱形结构和椭圆形的门窗。
总之，椭圆是一个重要的数学概念，具有许多重要的性质和应用。通过对椭圆的定义、性质和相关公式的总结和归纳，我们可以更好地理解和应用椭圆这一概念。
椭圆的知识点总结 篇二
椭圆是一种重要的几何形状，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。本文将从椭圆的方程、焦点和准线、参数方程和极坐标方程等几个方面对椭圆的知识点进行总结和归纳。
首先，我们来看椭圆的方程。一般来说，椭圆的方程可以写成(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1的形式，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。如果椭圆的中心不在坐标原点上，那么椭圆的方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1的形式，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
接下来，我们来看椭圆的焦点和准线。椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴的两个端点上。焦点与椭圆的中心之间的距离等于椭圆的离心率e乘以椭圆的短轴的长度。准线是与椭圆的中心垂直的直线，通过椭圆的两个焦点。
然后，我们来看椭圆的参数方程。椭圆的参数方程可以写成x = a*cosθ，y = b*sinθ的形式，其中θ为参数，取值范围为0到2π。通过参数方程，我们可以方便地描述椭圆上的各个点的坐标。
最后，我们来看椭圆的极坐标方程。椭圆的极坐标方程可以写成r = a*(1-e*cosθ)的形式，其中r和θ分别为极坐标系下的半径和角度，a为椭圆的长半轴的长度，e为椭圆的离心率。通过极坐标方程，我们可以方便地描述椭圆的形状和位置。
综上所述，椭圆是一个重要的几何形状，具有许多重要的性质和应用。通过对椭圆方程、焦点和准线、参数方程和极坐标方程等几个方面的总结和归纳，我们可以更好地理解和应用椭圆这一概念。
椭圆的知识点总结 篇三
椭圆是数学几何的基本知识点，也是考试中的重点。下面就随小编一起去阅读椭圆的知识点总结，相信能带给大家启发。
椭圆的知识点总结
一、教学目标
1.掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;
2.掌握椭圆标准方程中a、b、c关系;
3.能根据条件利用工具画出椭圆.
二、教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：椭圆离心率与椭圆关系
三、教学过程：
(一)、复习回顾：
(1) 椭圆的定义
(2) 椭圆的标准方程
(3) 椭圆中a,b,c的关系
(二)、讲授新课：
1.范围：
椭圆位于直线和所围成的矩形里.
原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都适合不等式 即, 2.对称性：
从图形上看：椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看：
(1)把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称;
(2)把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。
3.顶点：
令 x=0，得 y=?，说明椭圆与 y轴的交点?(-a,0), (a,0)
令 y=0，得 x=?说明椭圆与 x轴的交点?(0，-b), (0,b)
(1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
(2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b;
(3)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长;
4.离心率：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率.
说明①因为所以.
②e越接近1，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆;
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆.
[对于上述性质要求学生熟练掌握，并能由此推出焦点在y轴的椭圆标准方程的几何性质(要求学生自己归纳)，并能根据椭圆方程得到相应性质.]
(三)典型例题
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.
解：把已知方程化成标准方程这里a=5,b=4,所以.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是F1(-3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(-5，0)，A2(5，0)，B1(0，-4)和B2(0，4).
将已知方程变形为，根据在0范围算出几个点坐标：x012345y43.93.73.22.40
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆.
说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性.
②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形;由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点P(-3，0)、Q(0，-2); 解：(1)由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点.于是得
a=3，b=2.
又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为
(2)由已知，
∴ a=10，c=6.
∴ b2=102-62=64.
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为
例3 如图8-8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程(精确到1km).
解：如图8-8，建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点).
因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|
=6371+439=6810，
a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|
=6371+2384=8755.
解得
a=7782.5，c=972.5. 用计算器求得b≈7722.
因此，卫星的轨道方程是
(四)小结
解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格：
五、作业
1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标：
(1)25 +4100=0，
(2) +41=0.
2、.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是----------
5.选择题：在下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是
[ ]
A.=4y
B.+2xy+y=0
C.-4=5x
D.9+=4.
6.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (2)长轴是短轴的3倍，椭圆经过点P(3，0);
(3)离心率等于0.8，焦距是8.
7.点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
