染雾简析的数学向量高考真题 篇一
数学向量是高中数学中的重要内容，也是高考中经常涉及的考点。下面将对一道高考真题进行简析，帮助同学们更好地理解数学向量的概念和应用。
题目：
已知向量a = (3, 4)，向量b = (5, -2)，求向量a和向量b的数量积。
解析：
向量a = (3, 4)，向量b = (5, -2)。我们知道，向量的数量积等于两个向量的模长的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。所以，我们首先需要计算向量a和向量b的模长和夹角。
向量a的模长计算公式为：
|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
向量b的模长计算公式为：
|b| = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29
向量a和向量b的夹角θ计算公式为：
cosθ = (a · b) / (|a| · |b|)
其中，(a · b)表示向量a和向量b的数量积，也可以表示为a · b = 3×5 + 4×(-2) = 15 - 8 = 7。
所以，cosθ = 7 / (5 × √29) ≈ 0.511
通过查表或使用计算器，我们可以得到夹角θ的近似值为θ ≈ 59.5°。
最后，将向量a和向量b的数量积表示为：
a · b = |a| × |b| × cosθ = 5 × √29 × 0.511 ≈ 7.15
所以，向量a和向量b的数量积为7.15。
通过这道题目的简析，我们可以看到，在计算向量的数量积时，需要先计算向量的模长和夹角，然后利用数量积的定义进行计算。这个过程既涉及到向量的几何性质，又需要运用一些基本的三角函数知识。掌握这些知识和技巧，能够更好地应对类似的高考数学题目。
简析的数学向量高考真题 篇二
数学向量是高中数学中的重要内容，也是高考中经常涉及的考点。下面将对另一道高考真题进行简析，帮助同学们更好地理解数学向量的概念和应用。
题目：
已知向量a = (2, -1) 和向量b = (3, 4)，求向量a和向量b的差向量。
解析：
向量a = (2, -1) 和向量b = (3, 4)。我们知道，向量的差是指将一个向量减去另一个向量得到的新向量。所以，要求向量a和向量b的差向量，只需要将向量b的坐标分量取反，然后与向量a相加即可。
向量b的坐标分量取反得到的新向量为(-3, -4)。
将向量a和向量(-3, -4)相加得到的差向量为：
a - b = (2, -1) + (-3, -4) = (2 - 3, -1 - 4) = (-1, -5)
所以，向量a和向量b的差向量为(-1, -5)。
通过这道题目的简析，我们可以看到，求向量的差向量只需要将被减向量的坐标分量取反，然后与减向量相加即可。这个过程既涉及到向量的几何性质，又需要运用向量的加法运算规则。掌握这些知识和技巧，能够更好地应对类似的高考数学题目。
简析的数学向量高考真题 篇三
对2017年的向量高考真题进行简要分析，我们就会发现其中以考查平面向量的线性运算、模、夹角、垂直与平行、基底、数量积这些基础知识的居多，大约有十多个省市把对向量内容的考查作为高考试卷上的低中档题.而从知识交汇点考查思维能力和创新意识的试题有天津卷、陕西卷、湖南卷和安徽卷，这些试题对考生的要求比较高.
对于高考备考，我们一向强调夯实基础，回归课本.能力的提高不可能是空中楼阁，也必须从扎实的基本功中提炼升华而来.细看向量高考题，不难在课本中找到它们的“影子”.
考查平面向量的线性运算、垂直或平行
例1 （全国新课标卷）设[D，E，F]分别为[△ABC]的三边[BC，CA，AB]的中点，则[EB+FC=]（ ）
A. [BC] B. [12AD]
C. [AD] D. [12BC]
解析 [EB+FC=（EC+CB）+（FB+BC）]
原型 这道题直接考查平面向量的线性运算，解题思路中涉及相反向量及平行四边形加法法则，平行四边形两条对角线互相平分等内容.
与此题最接近的是必修4课本第89面的例7：[?ABCD]的两条对角线相交于点[M]，且[AB=a→，A
解析 此题的设问是[λ=]？，而题目条件支持我们轻松求出向量[a 和 b]的模，因此应该先将条件中的等式变形得到[b=-λaλ∈R]，再运用数乘运算的概念来解决问题：[λ=|b||a|=51=5.]
在2014年高考试题中还多次出现对向量垂直的考查，涉及的试卷有湖北卷、重庆卷和全国大纲卷.
例3 （湖北卷）设向量[a=（3，3）]，[b=（1，-1）]，若[（a+λb）⊥（a-λb）]，则实数[λ] .
解析
[∵a→+λb→=（3+λ，3-λ）， a→-λb→=（3-λ，3+λ），]
由[（a+λb）⊥（a-λb）]知，
[（3+λ）（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，]
[∴λ=±3.]
考查向量的模和数量积
山东卷比较单纯地考查了数量积的概念以及其坐标表示.
例4 （山东卷）已知向量[a→=（1，3），b→=（3，m）]. [若向量a→，b→]的夹角为[π6]，则实数[m=]（ ）
A. [23] B. [3] C. 0 D. [-3]
解析 [由a→?b→=a→?b→cosπ6得，cosπ6=32=a→?b→a→?b→]
[=3+3m2?9+m2，解得m=3.]
原型 难度与必修4课本107面的例6相当.属于基本难度的考题.
对向量数量积进行考查的还有江苏卷的第12题.
例6 如图，在平行四边形[ABCD]中，已知[AB=8]，[AD=5]，[CP=3PD]，[AP?BP=2]，则[AB?AD]的值是 .
解析 这道题属于中档题，已知条件是数量积，求解的也是数量积. 因此要分析条件和求解向量之间的关系.于是我们产生这样的想法，[以AB 和AD]为基底，表示[AP 和BP]，再由已知[AP?BP=2]得到关于[AB?AD]的等式，从而求出结果.
原型 向量的数量积是把向量的长度和三角函数联系了起来，为解决相关的几何问题提供了方便，是一种重要的思想方法. 因此同学们在复习中应该熟练掌握.比如在必修5正余弦定理的证明中就用到了向量数量积的方法，使得证明过程简洁明了.
考查平面向量的夹角
[又cosc，a=c?a|c|?|a|]，[cosc，b=c?b|c|?|b|]，
[∴c?a|c|?|a|=c?b|c|?|b|].
又[|b|=2|a|]，[∴2c?a=c?b].
即[2[（m+4）+2（2m+2）]=4（m+4）+2（2m+2），]
[∴m=2.]
解法2 [由a→=5，b→=25，a→?b→=8可得，]
[c→?a→=（ma→+b→）?a→=ma→2+b→?a→=5m+8.]
[c→?b→=（ma→+b→）?b→=ma→?b→+b→2=8m+20.]
[∴5m+85=8m+2025，∴m=2.]
解法3 对于某些向量问题，如果能够发现其几何意义，并依据几何意义解题会使求解过程非常轻松.以这道题目为例.
因为[c=ma+b]，且[c]与[a]的夹角等于[c]与[b]的夹角，由平行四边形法则可知，以[ma→和b→]为邻边，[c]为对角线的平行四边形是菱形，所以[ma→=b→]，又因为[a→=5，b→=25，] 所以[m=2].
考查平面向量的基本定理
平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐标表示的基础，但有些同学在平时的学习中不够重视，因此在复习中强化对定理的充分认识和理解是很有必要的.
例8 （福建卷）在下列向量组中，可以把向量[a]=（3，2）表示出来的是（ ）
考查平面向量与其他知识的交汇
数学的系统性决定了数学知识之间必然会存在联系.向量与高中数学一些主干知识，如三角、立体几何、解析几何、不等式等都存在着深刻的联系.它们之间容易形成知识的综合或交汇.因此，向量与其它知识交汇自然受到高考命题者的青睐，应该引起重视.
1.平面向量与二次函数交汇
例9 （浙江卷）设[θ]为两个非零向量[a]，[b]的夹角，已知对任意实数[t]，[|b+ta|]的最小值为1，（ ）
A.若[θ]确定，惟[|a|]惟一确定
B.若[θ]确定，惟[|b|]惟一确定
C.若[|a|]确定，惟[θ]惟一确定
D.若[|b|]确定，惟[θ]惟一确定
解析 令二次函数[f（t）=|b+ta|2=|a|2t2+2a?bt+|b|2，]
[∵|a|≠0， |b|≠0， ]
则当[t=-a?b|a|2=-|b|cosθ|a|]时，[f（t）]有最小值为[|b|2sin2θ，∴|b|2sin2θ=1.]
因此，当[θ]确定时，[|b|]惟一确定.
2.平面向量与三角函数或解析几何交汇
例10 （湖南卷）在平面直角坐标系中，[O]为原点，[A（-1，0），B（0，3），C（3，0），]动点[D]满足[|CD|=1，]则[|OA|+OB+OD]的最大值是 .
解法1 由[CD=1]知，点[D]在圆心为[C（3，0）]，半径为1的圆上，
可设[D（3+cosθ，sinθ）， θ∈R. ]
[∵OA+OB+OD=（2+cosθ，3+sinθ），]
[∴OA+OB+OD=8+23sinθ+4cosθ]
[=8+27sin（θ+φ），]
利用三角函数知识可知，当且仅当[sin（θ+φ）=1]时，[OA+OB+OD]有最大值[7+1.]
解法2 由解析几何知识知，因为动点[D]的轨迹是以[C]为圆心的单位圆，所以[D]点的轨迹方程为：[（x-3）2+y2=1.]
又[∵OA+OB+OD=（x-1，y+3），]
于是问题转化为求圆[C：（x-3）2+y2=1]上的点到点[M][（1，-3）]距离的最大值，最大值为[CM+1=7+1.]
3.平面向量与线性规划交汇
解析 [∵OP=mAB+nAC，]
[∴（x，y）=（m+2n，2m+n）， ][即x=m+2n， y=2m+n.]
两式相减得：[y-x=m-n.]
于是将问题转化为求[y-x]在[△ABC]内部及边界求最大值的问题.令[y-x=t，]由线性规划知识可知，当直线[y=x+t]过点[B（2，3）]时，[t]取得最大值1，所以[m-n]的最大值为1.
总的来说，向量问题的解决途径一般有两个：一是基于几何直观的几何法，二是基于坐标运算的代数法.向量兼具几何与代数的双重特征，向量解题的工具性作用在于数形结合沟通形与数之间的关系.
[简析2017年的数学向量高考真题]
