高中三角函数期末精讲精练

时间:2019-06-06 04:47:39
染雾
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高中三角函数期末精讲精练

三角函数期末精讲精练

三角函数精讲

一、基本概念、定义:

1. 角的概念推广后,包括、、,与α终边相同的角表示为。 终边角: x轴上 y轴上 第一象限第二象限 第二四象限直线y=x上 2. 弧度制:把叫1弧度的角。

公式:|α|=— 换算:180°= 弧度; 1弧度= 度; 1°= 弧度 扇形: 弧长L= = ,面积S= = 3. 任意角的三角函数:

①定义:角α终边上任意一点P(x,y),则r= ,六个三角函数的定义依次是 、 、。

②三角函数线:角的终边与单位圆交于点P,过点P作 轴的垂线,垂足为M,则 A(1,0)作,交T,则。 ③同角三角函数关系式:

平方关系: 商数关系: 倒数关系:

(1~2要求能熟练运用:顺用、逆用、变形用,3~6要求能证明,不记忆) 1.和、差角公式

sin(???)? cos(???)?

tan(???)?

2.二倍角公式

sin2?? cos2?? = = tan2?? 倍角公式变形:降幂公式

sin?cos?? sin2?? co2s??

3.半角公式(书P45~46)

sin

?

2

??

1?cos???cos???cos?sin?1?cos?

, cos??, tan?? ??22221?cos?1?cos?sin?

2tan

?2

1?tan2

??

;tan??2

2tan1?tan

?2

4.万能公式: sin??

1?tan

?2

;cos??

1?tan

2

?2

5.积化和差公式(书P46~47)

第 1 页 共 8 页

11

sin?cos??[sin(???)?sin(???)]; cos?sin??[sin(

???)?sin(???)];

2211

cos?cos??[cos(???)?cos(???)]; sin?sin???[cos(???)?cos(???)].

22

6.和差化积公式(书P46~47)

????????????

; sin??sin??2cos; sinsin??sin??2sincos

2222

????????????

; cos??cos???2sin. cos??cos??2coscossin

2222

应用公式解题的基本题型:化简、求值、证明 基本技巧:

①1的妙用:1= = =

②变角: (x+y)+(x-y)= (x+y)+(x-y)= α= = = 等 ③变名:切化弦;弦化切

④化一:a sinx+b cosx=

1、 作图:五点法,依次取ωx+ψ= 2、 周期T=

3、 单调区间:A?ω>0时,增区间:解不等式 ≤ωx+ψ≤ 减区间:解不等式 ≤ωx+ψ≤

A?ω

减区间:解不等式 ≤ωx+ψ≤ 4、最大值:A>0时,当ωx+ψ= 时,y取最大值A。 最小值:A>0时,当ωx+ψ= 时,y取最小值-A。

5、概念:振幅T=;频率f=;相位。 6、三角变换: (A>0,ω>0)

将y=sinx的图像—————————>y=sin(x+ψ) ——————————>y=sin(ωx+ψ)

第 2 页 共 8 页

——————————>y=Asin(ωx+ψ)

或者: 将y=sinx的图像—————————>y=sin(ωx) —————————>y=sin(ωx+ψ) ——————————>y=Asin(ωx+ψ)

7、联系: y=tan((ωx+ψ) (ω>0)的周期是T= ,单调 区间是解不等式 。

五、反三角定义:

1.在闭区间 上,符合条件sinx=a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦,记作:x= 在闭区间 上,符合条件cosx=a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦,记作:x= 在开区间 上,符合条件tanx=a的角x叫a的反正切,记作:x= 2.反三角的三角函数、三角函数的反三角:

例:sin(arcsinx)= ,其中x∈[-1,1];arcsin(sinx)= ,其中x∈[-

??

,]; 22

六、数学思想方法: 数形结合思想,例如:解三角不等式可以用 、或 ;

整体思想,例如:研究函数y=Asin(ωx+ψ)的图像和性质可以把 看成整体

三角函数精练

A

α

⒈ 已知α是钝角,那么 是 ( )

2

A.第一象限角 B.第二象限角

C.第一与第二象限角 D.不小于直角的正角

2. 角α的终边过点P(-4k,3k)(k<0},则cosα的值是 ( )

3 434A. B. C.- D.- 5555

3.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π]内,α的取值范围是 ( )

π3π5πππ5πA.( ∪(π, B.( )∪(π,

244424π3π5π3πππ3πC.( , )∪, D.( )∪( ,π)

2442424

34

4.若sinx= - cosx = ,则角2x的终边位置在 ( )

55

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.若4π<α<6π,且α与- 终边相同,则α= .

3

6. 角α终边在第三象限,则角2α终边在 象限.

7.已知|tanx|=-tanx,则角x的集合为 8.如果θ是第三象限角,则cos(sinθ)?sin(sinθ)的符号为什么?

9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.

B

1.sin600°的.值是 ( )

11A B.- C. D.-

2222ππ

2. α)sinα)的化简结果为 ( )

44

11

A.cos2α B.cos2α C.sin2α D. sin2α

22

1

3.已知x∈[0,π],则tanx的值是 ( )

5

第 3 页 共 8 页

34434A.- B.- C.± D或-43343

11

4.已知tanα=-,则= .

3 2sinαcosα+cosα5.

的值为 .

cos10°-1-cos170°

1+2sinαcosα1+ tanα

6. = cosα-sinα 1-tanα

2sinθ+cosθ

7.已知-5,求3cos2θ+4sin2θ的值.

sinθ-3cosθ

8.已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.

C.

π34

1.已知0<αβ<π,sinα=,cos(α+β)=-sinβ等于 ( )

255

242424

A.0 B.0或 C. D.0或-

252525

sin7°+cos15°sin8°2. 的值等于 ( )

cos7°-sin15°sin8°

2-3 2+3

A.2+ B. C.2- D.

22

3. △ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为 ( )

π5ππ5ππ2πA. B. C. D. 或666633

π1

4.若α是锐角,且sin(α-cosα的值是 .

63

π2π3π

5.coscos

777

11

6.已知tanθtanφ=,且θ、φ都是锐角.求证:θ+φ=45°.

23

π3π44

7.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)= ,且(α-β)∈(,π),α+β∈(2π),求cos2α、

5522

cos2β的值.

tanα11

8. 已知sin(α+β)= sin(π+α-β)= .

23tanβ

D

1.cos75°+cos15°的值等于 ( )

6 6 2 2 A. B - C. - D.

22222 2

2.a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°-1,c= ,则 ( )

22

A.c<a<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c

1+sin2θ-cos2θ

3.

1+sin2θ+cos2θ

4.化简sin(2α+β)-2sinαcos(α+β.

ACAC

5.在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,则tan3 tantan .

2222

22

6.化简sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B). 7 化简sin50°3 tan10°).

8 已知sin(α+β)=1,求证:sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0.

E

1.函数y=lg(2cosx-1)的定义域为 ( )

第 4 页 共 8 页

1-2sin10°cos10°

ππππ

A.{x|-<x B.{x|-x<

3366

ππππ

C.{x|2kπ-<x<2kπ+k∈Z} D.{x|2kπ-x<2kπ+,k∈Z}

3366π

2.如果α

http://www.wenku1.com/news/55D4C7C06FF3FBE2.html 、βπ),且tanα<cotβ,那么必有 ( )

2

3π3π

A.α<β B. β<α C. α+β< D. α+β>

22

3.若f(x)sinx是周期为π的奇函数,则f(x)可以是 ( )

A.sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x 4.下列命题中正确的是 ( )

A.若α、β是第一象限角,且α>β,且sinα>sinβ

ππ

B.函数y=sinxcotx的单调递增区间是(2kπ-2kπ+),k∈Z

22

1-cos2x

C.函数y=的最小正周期是2π

sin2x

kππ

D.函数y=sinxcos2φ-cosxsin2φ的图象关于y轴对称,则φ=k∈Z

24

xx

5.函数2π,2π)内的递增区间是 .

2266

6.y=sinx+cosx的周期为

ππ

7.比较下列函数值的大小:(1)sin2,sin3,sin4; (2)cos2θ,sin2θ,tan2θ(<θ<).

42

8.设f(x)=sin(x+) (k≠0) .

53

(1)写出f(x)的最大值M,最小值m,以及最小正周期T;

(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少

有一个M与m.

F. 1

1.函数y= sin(2x+θ)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )

2

ππ

A.θ=2kπ+ B.θ=kπ C.θ=2kπ+π D.θ=kπ+π(k∈Z)

22

π

2.先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,再将所得图象作关于y轴的对称变换,则所得函数图

3象对应的解析式为 ( )

ππ

A.y=sin(-2x+ ) B.y=sin(-2x-)

33C.y=sin(-2x+

2π2π

) D. y=sin(-2x-) 33

3.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,

那么f(x)可以写成 ( )

A.sin(1+x) B. sin(-1-x) C.sin(x-1) D. sin(1-x) 1π

4.y=tan(-)在一个周期内的图象是 ( )

23

?

O

5.已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形,则该封闭图形面积

是 . 6.将y=sin(3x-

ππ

的图象向(左、右) 个单位可得 63

π4π11

7.已知函数y=Asin(ωx+φ),在同一个周期内,当x=x= 若A

9292

π

>0,ω>0,|φ|<,求该函数的解析表达式.

2

8.已知函数y=3 sinx+cosx,x∈R. (1)当y取得最大值时,求自变量x

(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

9.如图:某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(1)求这段时间的最大温差;

(2)写出这段曲线的函数解析式.

G 1.函数y=A1

的最大值是 ( )

2+sinx+cosx

2 2 2 2 -1 B. +1 C. 1- D. -1- 2222

2.若2α+β=π,则y=cosβ-6sinα的最大值和最小值分别为 ( ) A.7,5 B. 7,-

1111

C. 5,- D. 7,-5 22

πsinx+1

3.当0≤x≤时,函数f(x)= 的 ( )

2 cosx+1

1

A.最大值为2,最小值为 B.最大值为2,最小值为0

2C.最大值为2,最小值不存在 D.最大值不存在,最小值为0

π

4.已知关于x的方程cos2x-sinx+a=0,若0<x<a的取值范围是( )

25

A.[-1,1] B.(-1,1) C.[-1,0] D.

45.要使sinα3 cosα=

4m-6

有意义,则m的取值范围是 . 4-m

π

6.若f(x)=2sinωx(0<ω<1),在区间[0,]上的最大值为2 ,则ω= .

37.y=sinxcosx+sinx+cosx,求x∈[0,

π

]时函数y的最大值. 3

第 6 页 共 8 页

8.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0,最小值为-4,若实数a>0,求a,b的值.

π

9.已知函数f(x)=2cos23 sin2x+a,若x∈[0,],且|f(x)|<2,求a的取值范围.

2

H

1.△ABC中,3 =3 tanAtanB,sinAcosA=

3

( ) 4

A.等边三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形或直角三角形

2.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则此三角形的最大内角为 ( ) A.120° B.150° C.60° D.90°

3.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13,则cosA= .

5.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为.

6.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,S是△ABC的面积,若a=4,b=5,s=53 ,求c的长度.

7.在△ABC中,sin2A-sin2B+sin2C=sinAsinC,试求角B的大小. 8.半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,且OA=2, B为半圆上任意一点,以AB为边向外作等边△ABC,问B

点在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出这个最

大面积.

三角函数答案

16π

A1. A 2. B 3. B 4. D 5. 6.一、二

37.{2kπ+

π3π

<x<2kπ+π或2kπx<2kπ+2π ,k∈Z= 8.负 9. 2cm2. 22

π107

B1. D 2. B 3. B 4. 5. 1 6. 略 7 8353

C1. C 2. C 3. A 4.2

71

7. cos2α=-cos2β=-1 8.

255

-11

5. 6.略 68

D1. A 2. A 3. tan θ 4. sinβ 5. 6. sin2(A+B).

7. 1 8 .略.

E1. C 2. C 3. B 4. D 5. [- 7.(1)sin4 <sin3< sin2 (2)cos2θ<sin2θ<tan2θ

2π10π8.(1)M=1,m=-1,T= k≠0). (2)k=32.

k | k |5

π

F1. B 2. D 3. D 4. A 5. 4 π 6.左,

3ππ, π) 6. 22

6

第 7 页 共 8 页

πππ1

7. y= sin(3x+) 8.(1){x|x=+2kπ,k∈Z}; (2)将y=sinx的图象向左平移2636

数y=sin(x+的图象.

π

6

π

)的图象,再将所得图象上各点横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=2sin(x+6

π3π

9.(1)最大温差20℃; (2)y=10sin(x+20,x∈[6,14].

84

37

G1. B 2. D 3. A 4. A 5. -1≤m≤ 6.

3

4

7.1

2+2 8.a=2, b=-2 9.-2<a<-1 H1. A 2. A 3. B 4. 12

13 5. π6 6.8. 设∠AOB=θ,θ=

5π6时,S53

最大值 =2+4

第 8 页 共 8 页

21 61 7. π3

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