染雾求函数极限的方法总结 篇一
函数极限是数学分析中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的趋势。在实际应用中，求函数极限的方法有多种，本篇将总结其中的几种常用方法。
一、代入法
代入法是求函数极限最直接、最简单的方法。对于已知函数f(x)，我们可以通过将x的值代入到f(x)中，计算f(x)的数值，从而得到函数极限。
例如，对于函数f(x) = x^2，要求其在x=2处的极限。我们可以直接将x=2代入到f(x)中，得到f(2) = 2^2 = 4，因此函数f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼定理
夹逼定理是一种常用的求函数极限的方法，适用于函数在某一点附近取值时存在夹逼关系的情况。
夹逼定理的基本思想是通过找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，并且当x趋近于某个特定值时，g(x)和h(x)的极限相等，那么函数f(x)的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x)/x 在x趋近于0时的极限。我们可以找到两个函数g(x) = 1和h(x) = sin(x)，显然有 1≤sin(x)/x≤sin(x)。当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限都为1，因此函数f(x)在x趋近于0时的极限也为1。
三、洛必达法则
洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，适用于计算某些不定式的极限。
洛必达法则的基本思想是通过对函数的导数进行比较，从而计算函数的极限。具体来说，如果函数f(x)和g(x)在某一点a处的极限都为0或者∞，那么当f(x)和g(x)的导数在a处存在且满足一定条件时，函数f(x)/g(x)在a处的极限等于函数f'(x)/g'(x)在a处的极限。
例如，我们要求函数f(x) = (e^x - 1)/x 在x趋近于0时的极限。首先计算f(x)的导数，得到f'(x) = (e^x - 1 - xe^x)/x^2。然后计算f'(x)在x=0处的极限，得到lim(x→0)f'(x) = 1。因此，根据洛必达法则，函数f(x)在x趋近于0时的极限也为1。
以上是求函数极限的几种常用方法的总结，代入法适用于简单的函数，夹逼定理适用于函数取值存在夹逼关系的情况，洛必达法则适用于不定式的极限计算。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解，可以更加高效地计算函数的极限。
求函数极限的方法总结 篇二
函数极限是数学分析中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的趋势。在实际应用中，求函数极限的方法有多种，本篇将继续总结其中的几种常用方法。
四、泰勒展开
泰勒展开是一种常用的求函数极限的方法，适用于函数在某一点附近可以用多项式逼近的情况。
泰勒展开的基本思想是通过将函数f(x)在某一点a处展开成无穷级数的形式，从而计算函数的极限。具体来说，泰勒展开将函数f(x)表示为f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ...，当x趋近于a时，根据级数的性质，可以计算出函数f(x)的极限。
例如，我们要求函数f(x) = sin(x) 在x趋近于0时的极限。根据泰勒展开公式，sin(x)可以展开为sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...。当x趋近于0时，根据级数的性质，我们可以得到sin(x)的极限为0。因此，函数f(x)在x趋近于0时的极限也为0。
五、分子有理化
分子有理化是一种常用的求函数极限的方法，适用于计算某些不定式的极限。
分子有理化的基本思想是通过对不定式进行有理化操作，将其转化为一个更容易计算极限的形式。具体来说，对于形如f(x)/g(x)的不定式，我们可以通过乘以g(x)的共轭形式，将其分子有理化。然后可以简化该不定式，从而计算出函数的极限。
例如，我们要求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在x趋近于1时的极限。首先对不定式进行分子有理化操作，得到f(x) = (x + 1)。然后可以计算出函数f(x)在x趋近于1时的极限为2。
以上是求函数极限的几种常用方法的总结，泰勒展开适用于可以用多项式逼近的函数，分子有理化适用于不定式的极限计算。在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解，可以更加高效地计算函数的极限。
求函数极限的方法总结 篇三
利用函数连续性：直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0；通过已知极限：两个重要极限需要牢记；采用洛必达法则求极限：洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，前提是必须证明拆分后极限依然存在，e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa，展开ln1+x，对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法，取大头原则最大项除分子分母！看上去复杂，处理很简单！
5、无穷小于有界函数的处理办法，面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的`形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）。
11、还有个方法，非常方便的方法，就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）！当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧，不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式，看见了要特别注意）（当题目中告诉你F（0）=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
函数是表皮，函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）;
2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致;
3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系;
4、还有个单调性。（再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点;第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。
数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。首先对各个知识点做深入细致的分析，注意抓考点和重点题型，同时逐步进行一些训练，积累解题思路，这有利于知识的消化吸收，彻底弄清楚有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。
求函数极限的方法总结 篇四
(一) 四则运算法则
四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解，即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商，各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意：(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则，(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大，就从无穷大中选取起主要作用的那一项，选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项，对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数，幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。
(二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)
洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式，所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然，在用洛必达的时候需要注意：
(1)它的三个条件都要满足，尤其要注意第二三个条件，当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;
(2)用洛必达法则之前一定要先化简，把要求极限的式子化成“干净”的式子，否则会遇到越求导越麻烦的情况，有的甚至求不出来，所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换，有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小，以及替换原则(乘除因子可以替换，加减不要替换)。考研中，除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查，这种类型的题目，首先要考虑洛必达，但是我们也要掌握变限积分求导。
另外，考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型，会出“零乘以无穷”，“无穷减无穷”这种形式，我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。
(三) 利用泰勒公式求极限
利用泰勒公式求极限，也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广，如
(四) 定积分定义
考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来，这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式
只要把要求的极限凑成等是左边的形式，就可以用定积分去求极限了。
求函数极限的方法总结 篇五
1.验证定义：“猜出”极限值，然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛，再由极限唯一性可得。
2.利用收敛定理、两边夹、关于无穷小/大的一些结果，四则运算、复合（形式上的“换元公式”）、函数极限的序列式定义。
从1+2得到的一些基本的结果出发，利用3就可以去完成一大堆极限运算了。
先从函数极限开始：
3.利用初等函数的连续性，结果就是把求极限变成了求函数值。
4.关于P(x)/Q(x)，P、Q是两个多项式。如果Q（a）不等于0，见4；如果Q（a）等于0但P（a）不等于0，Infinity；如果Q（a）=P(a)=0，利用综合除法，P、Q均除以(x-a)，可以多除几次直到"Q"不能被整除，这时候就转化为前面的情形。
5.其它0/0：利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L'Hospital法则，不过注意它不能用来求sin x/x（x趋于0），因为：L'Hospital法则需要sin的导数，而求出lim sin x/x——求sinx的导数。
关于序列极限；
6.0/0，利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加减辅助项，尽量把减转化为加。
7.如果是递推形式，先利用递推式求出极限（如果有）应该满足的方程，求出极限，然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。
