染雾线性代数知识点总结 篇一
线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科。它在各个领域中应用广泛，例如物理学、计算机科学、经济学等。本篇文章将总结一些线性代数的基本知识点。
1. 向量和矩阵
向量是一个有序的数列，可以表示为一个 n 维列向量或行向量。矩阵是一个由 m 行 n 列元素组成的矩形数组。矩阵的加法和标量乘法可以用来定义向量的加法和标量乘法。
2. 线性方程组
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。解线性方程组的方法包括高斯消元法、矩阵的逆、克莱姆法则等。
3. 行列式
行列式是一个标量，可以通过矩阵的元素按一定规则计算得到。行列式的性质包括行列式的值与矩阵的转置和互换行列有关、行列式的值与矩阵的行列式性质有关等。
4. 向量空间和线性变换
向量空间是一组向量的集合，满足一定的运算规则。线性变换是一种保持向量空间运算规则的变换。线性变换的性质包括保持向量加法和标量乘法、保持零向量等。
5. 特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性代数中重要的概念。特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。矩阵的特征值和特征向量可以用来描述矩阵的性质。
这些是线性代数中的一些基本知识点。掌握了这些知识，可以更好地理解线性代数的其他高级概念和应用。线性代数在现代科学中起着重要的作用，帮助我们解决实际问题，并推动科学的发展。
线性代数知识点总结 篇二
线性代数是一门研究向量空间和线性变换的数学学科。本篇文章将继续总结线性代数的一些重要知识点。
1. 内积和正交性
内积是向量空间中两个向量的一种运算。它可以用来定义向量的长度和夹角。内积的性质包括对称性、线性性、正定性等。正交性是指两个向量的内积为零，表示它们垂直或正交。
2. 正交基和正交矩阵
正交基是指向量空间中两两正交的基向量组成的基。正交矩阵是指矩阵的列向量组成的向量组是正交的。正交基和正交矩阵在计算中有很多应用，例如求解线性方程组、计算特征值等。
3. 奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。它可以用来解决线性方程组、压缩数据等问题。奇异值分解的性质包括矩阵的秩等于奇异值的个数、奇异值与特征值的关系等。
4. 特征分解
特征分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法。它可以用来描述矩阵的性质，例如对称矩阵的特征分解可以用来求解最优化问题。
5. 线性代数的应用
线性代数在各个领域中都有广泛的应用。例如在物理学中，可以用线性代数解决力学问题；在计算机科学中，可以用线性代数解决图像处理、机器学习等问题；在经济学中，可以用线性代数解决供需关系等问题。
这些是线性代数中的一些重要知识点。掌握了这些知识，可以更好地理解线性代数的应用，并在实际问题中应用线性代数的方法。线性代数是一门重要的数学学科，它不仅在理论上有着重要的地位，而且在实际应用中也起着重要的作用。
线性代数知识点总结 篇三
线性代数知识在学习的几个阶段都有相关的知识点出现，下面线性代数知识点总结是小编为大家整理的，在这里跟大家分享一下。
线性代数知识点总结
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，太奇考研专家们提醒广大的2013年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对2012年考研的同学们学习有帮助。
行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《20xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。
向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。
往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。
特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础.重点内容包括：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法.重点题型有：二次型表成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。
一、行列式与矩阵
行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵等。
二、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。
(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。
(3)非齐次线性方程组与线性表出的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量
三、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。
本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。
2. 相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：
3. 矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。
4. 实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。
四、二次型
这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵，使其可以相似对角化”，其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。
本章核心要点如下：
1. 用正交变换化二次型为标准型。
2. 正定二次型的判断与证明。
