染雾高中集合知识点总结 篇一
在高中数学中，集合是一个非常重要的概念，它是数学中最基础的概念之一。在这篇文章中，我将总结高中集合知识点，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。
1. 集合的定义和表示法
集合是由一些确定的对象组成的整体。集合中的对象称为元素。表示一个集合的常用方法有三种：描述法、列举法和集合间套嵌法。描述法是通过描述集合元素的特征来表示集合，例如“大于0的整数集合”；列举法是通过列举出集合中的元素来表示集合，例如“{1, 2, 3}”；集合间套嵌法是通过其他集合的运算来表示集合，例如“A = {x | x是正整数，x < 5}”。
2. 集合的基本运算
集合的基本运算有并集、交集、差集和补集。并集表示的是属于两个或多个集合中至少一个集合的元素的集合，用符号“∪”表示。交集表示的是同时属于两个或多个集合的元素的集合，用符号“∩”表示。差集表示的是属于一个集合但不属于另一个集合的元素的集合，用符号“-”表示。补集表示的是全集中不属于某个集合的元素的集合，用符号“'”表示。
3. 集合的性质和运算规律
集合的性质和运算规律包括交换律、结合律、分配律、幂等律、恒等律和吸收律。交换律表示并集和交集的结果与顺序无关，即A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；结合律表示并集和交集的结果在多个集合进行运算时与括号的位置无关，即(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)；分配律表示并集和交集之间的关系，即A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)；幂等律表示一个集合与自身的并集或交集等于自身，即A∪A = A，A∩A = A；恒等律表示全集与任何集合的并集或交集等于全集，即U∪A = U，U∩A = A；吸收律表示一个集合与自身的并集或交集等于自身，即A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
4. 集合的应用
集合在高中数学中的应用非常广泛。在概率论中，集合可以用来描述事件和样本空间，并进行概率计算；在函数中，集合可以用来表示定义域、值域和区间；在数列和级数中，集合可以用来表示数列的全体项或级数的部分和等。
通过以上总结，我们可以看出集合是一个非常重要的数学概念，它不仅是数学中最基础的概念之一，而且在高中数学中有着广泛的应用。希望通过这篇文章的总结，读者能够更好地理解和掌握高中集合知识点。
高中集合知识点总结 篇二
在高中数学中，集合是一个非常重要的概念，它是数学中最基础的概念之一。在这篇文章中，我将进一步总结高中集合知识点，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。
1. 集合的基数和无穷集合
集合的基数是指集合中元素的个数。对于有限集合而言，基数是一个确定的自然数。对于无限集合而言，基数可以是无穷。常见的无穷集合有自然数集合N，整数集合Z，有理数集合Q和实数集合R。
2. 集合的关系和判断方法
集合的关系有包含关系、相等关系、真包含关系、交集为空关系、互不相交关系等。包含关系表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，用符号“?”表示。相等关系表示两个集合中的元素完全相同，用符号“=”表示。真包含关系表示一个集合包含另一个集合的所有元素，但两个集合并不相等，用符号“?”表示。交集为空关系表示两个集合没有共同的元素，用符号“∩=?”表示。互不相交关系表示两个集合没有共同的元素，用符号“A∩B=?”表示。
3. 集合的扩展运算
除了基本运算外，集合还有一些扩展运算，如幂运算、笛卡尔积和集合的幂集。幂运算表示一个集合的所有子集的集合，用符号“P(A)”表示。笛卡尔积表示两个集合中所有元素的有序对的集合，用符号“×”表示。集合的幂集表示一个集合的所有子集的集合，用符号“P(A)”表示。
4. 集合的应用
集合在高中数学中的应用非常广泛。在概率论中，集合可以用来描述事件和样本空间，并进行概率计算；在函数中，集合可以用来表示定义域、值域和区间；在数列和级数中，集合可以用来表示数列的全体项或级数的部分和等。
通过以上总结，我们可以看出集合是一个非常重要的数学概念，它不仅是数学中最基础的概念之一，而且在高中数学中有着广泛的应用。希望通过这篇文章的总结，读者能够更好地理解和掌握高中集合知识点。
高中集合知识点总结 篇三
高中集合知识点总结
人们的直观的或中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。以下内容是小编为您精心整理的高中集合知识点总结，欢迎参考！
一．知识归纳：
1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
2）集合的.表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}
5）补集：CUA={x x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，则? A ；
②若 ， ，则 ；
③若 且 ，则A=B（等集）
3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
4．有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：
【例1】已知集合M={xx=+ ,∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：从判断元素的共性与区别入手。
解答一：对于集合M：{xx= ,∈Z}；对于集合N：{xx= ,n∈Z}
对于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
分析二：简单列举集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。
点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
变式：设集合 ， ，则（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
当 时，2+1是奇数，+2是整数，选B
【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。
解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为
A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴ ∴
变式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+?2+6=0,=-5
∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
综合以上各式有B={x-1≤x≤5}
变式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
变式2：设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。
解答：（1）若 ， 在 内有有解
令 当 时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个
3．集合A={x } B={ } C={ }又 则有
（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个
4．设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是
（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U
（C）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }则A =
（A）R （B）{ }
（C）{ } （D）{ }
6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是
（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上语句都不对
7．设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
（A）X （B）T （C） （D）S
8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为
（A）R （B） （C）{ } （D）{ }
填空题
9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，则A =
12.若方程8x2+(+1)x+-7=0有两个负根，则的取值范围是
13设集合A={ },B={x },且A B，则实数的取值范围是。
14.设全集U={x 为小于20的非负奇数}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，则A B=
解答题
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求实数a。
16(12分)设A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B C B C D D
解答题
15.a=-1
16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A
（Ⅰ）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1
(Ⅱ)B={0}或B={-4}时， 0 得a=-1
（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
