染雾通项公式方法总结 篇一
通项公式是高中数学中的重要概念，它在数列、级数等数学问题的解决中起到了关键作用。本文将对通项公式的概念、求解方法以及应用进行总结和归纳。
一、通项公式的概念和基本形式
通项公式是指能够用一个变量来表示数列中任意一项的公式，通常用公式T(n)来表示第n项。通项公式的基本形式可以分为等差数列和等比数列两种情况。
1. 等差数列的通项公式
对于等差数列a1, a2, a3, ...，如果相邻两项之间的差值是一个常数d，则通项公式可以表示为T(n) = a1 + (n - 1)d。其中，a1是首项，d是公差，n是项数。
2. 等比数列的通项公式
对于等比数列a1, a2, a3, ...，如果相邻两项之间的比值是一个常数q，则通项公式可以表示为T(n) = a1 * q^(n - 1)。其中，a1是首项，q是公比，n是项数。
二、通项公式的求解方法
通项公式的求解方法主要有两种：直接法和递推法。
1. 直接法
直接法是通过观察数列的特点和规律，直接写出通项公式。对于等差数列和等比数列来说，直接法往往比较简单明了。例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, ...，我们可以通过观察到每一项都比前一项大3，因此通项公式为T(n) = 1 + 3(n - 1)。对于等比数列2, 4, 8, 16, ...，我们可以通过观察到每一项都是前一项的两倍，因此通项公式为T(n) = 2 * 2^(n - 1)。
2. 递推法
递推法是通过已知的前几项来推导后面的项，最终得到通项公式。递推法的求解过程相对复杂，需要运用数列的性质和数学推理。以等差数列为例，假设我们已知等差数列的前两项a1和a2，以及公差d，要求第n项T(n)。首先，根据等差数列的定义，可以得到a2 = a1 + d。然后，通过观察前几项的差值，可以发现每一项与前一项之间的差值都是d，因此可以得到T(n) = a1 + (n - 1)d。
三、通项公式的应用
通项公式在数列和级数的求和问题中具有重要的应用价值。通过通项公式，我们可以快速求解数列中任意一项的值，计算数列的和以及判断数列的性质。
1. 求解数列中任意一项的值
通过通项公式，我们可以直接计算数列中任意一项的值，而不需要逐个计算。这在实际问题中非常有用，可以节省时间和精力。
2. 计算数列的和
通项公式还可以用来计算数列的和，即求和公式。对于等差数列来说，求和公式可以表示为S(n) = [n(a1 + an)] / 2，其中S(n)表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。对于等比数列来说，求和公式可以表示为S(n) = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中S(n)表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
3. 判断数列的性质
通过通项公式，我们可以得到数列的一些性质。例如，对于等差数列来说，如果公差d大于0，则数列是递增的；如果公差d小于0，则数列是递减的。对于等比数列来说，如果公比q大于1，则数列是递增的；如果公比q小于1，则数列是递减的。
总之，通项公式是解决数列、级数等数学问题的重要工具。通过本文的总结和归纳，我们对通项公式的概念、求解方法和应用有了更深入的理解，希望能对读者的学习和研究有所帮助。
通项公式方法总结 篇二
通项公式是数学中的一个重要概念，它在数列、级数等问题的求解中起到了关键作用。本文将从数列、级数和函数的角度对通项公式进行总结和归纳。
一、数列的通项公式
数列是按照一定规律排列的数的集合，通项公式是用一个变量表示数列中任意一项的公式。对于等差数列和等比数列来说，通项公式有相应的表达式。
1. 等差数列的通项公式
等差数列是指相邻两项之间的差值是一个常数的数列。通项公式可以表示为T(n) = a1 + (n - 1)d，其中T(n)表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列的通项公式
等比数列是指相邻两项之间的比值是一个常数的数列。通项公式可以表示为T(n) = a1 * q^(n - 1)，其中T(n)表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
二、级数的通项公式
级数是数列中各项之和的数列。通项公式可以用来表示级数的部分和或无穷和。
1. 等差级数的通项公式
等差级数是由等差数列的各项之和构成的数列。通项公式可以表示为S(n) = [n(a1 + an)] / 2，其中S(n)表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
2. 等比级数的通项公式
等比级数是由等比数列的各项之和构成的数列。通项公式可以表示为S(n) = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中S(n)表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
三、函数的通项公式
函数是数列和级数的推广，通项公式可以用来表示函数的表达式。
1. 一般函数的通项公式
一般函数的通项公式可以表示为f(n) = an^2 + bn + c，其中f(n)表示函数值，a、b、c为常数，n为自变量。
2. 递归函数的通项公式
递归函数是指函数的定义中包含函数自身的表达式。通项公式可以通过递归定义来表示。例如，斐波那契数列的通项公式可以表示为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n项，f(n-1)和f(n-2)表示前两项。
总结一下，通项公式在数列、级数和函数的求解中起到了重要作用。通过该公式，我们可以快速计算数列中任意一项的值，求解级数的和以及表示函数的表达式。希望本文的总结和归纳对读者的学习和研究有所帮助。
通项公式方法总结 篇三
一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。
例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。
二、已知数列的前n项和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)
此类题在解时要注意考虑n=1的情况。
三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。
例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列{an}的通项公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，两边同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累积的`方法求通项公式
对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。
例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这n-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)
五、用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。
例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。
证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。
又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
