幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 篇一
在数学中,幂函数、指数函数和对数函数是常见的函数形式,它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。本教案将重点介绍对数函数及其运算法则,帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、对数函数的定义
对数函数是指数函数的逆运算,表示为y=log?x,其中a为底数,x为真数,y为对数。对数函数的定义域是正实数集,值域是实数集。
二、对数函数的性质
1. 对数函数的图像是一条曲线,呈现出单调递增的特点。
2. 对数函数的底数a必须大于0且不等于1,否则对数函数的定义将出现问题。
3. 对数函数的反函数是指数函数,即y=log?x的反函数是x=a^y。
三、对数函数的运算法则
1. 对数的乘法法则:log?m + log?n = log?(mn)
2. 对数的除法法则:log?m - log?n = log?(m/n)
3. 对数的幂法则:nlog?m = log?(m^n)
4. 换底公式:log?b = log?/log?a
四、对数函数的应用
对数函数在实际生活中有着广泛的应用,如在计算机科学、生物学、经济学等领域。例如在计算机领域,对数函数常用于描述算法的时间复杂度;在生物学领域,对数函数常用于描述生物种群的增长规律。
五、教学方法
1. 结合实际案例,引导学生理解对数函数的概念和运算法则。
2. 利用图像展示对数函数的特点,帮助学生直观地理解对数函数的性质。
3. 鼓励学生进行对数函数的实际应用探究,提升他们的数学建模能力。
通过本教案的学习,相信学生们能够更深入地理解对数函数及其运算法则,为他们的数学学习打下坚实的基础。
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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 篇二
幂函数、指数函数和对数函数是数学中常见的函数形式,它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。本教案将重点介绍指数函数及其运算法则,帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、指数函数的定义
指数函数是以指数形式表达的函数,表示为y=a^x,其中a为底数,x为指数,y为函数值。指数函数的定义域是实数集,值域是正实数集。
二、指数函数的性质
1. 指数函数的图像是一条曲线,呈现出单调增加或单调减少的特点。
2. 指数函数的底数a必须大于0且不等于1,否则指数函数的定义将出现问题。
3. 指数函数的反函数是对数函数,即y=a^x的反函数是x=log?y。
三、指数函数的运算法则
1. 指数的乘法法则:a^m * a^n = a^(m+n)
2. 指数的除法法则:a^m / a^n = a^(m-n)
3. 指数的幂法则:(a^m)^n = a^(mn)
四、指数函数的应用
指数函数在实际生活中也有着广泛的应用,如在物理学、化学学、金融学等领域。例如在金融学领域,指数函数常用于描述资产的增长速度;在物理学领域,指数函数常用于描述放射性衰变过程。
五、教学方法
1. 结合实际案例,引导学生理解指数函数的概念和运算法则。
2. 利用图像展示指数函数的特点,帮助学生直观地理解指数函数的性质。
3. 鼓励学生进行指数函数的实际应用探究,提升他们的数学建模能力。
通过本教案的学习,相信学生们能够更深入地理解指数函数及其运算法则,为他们的数学学习打下坚实的基础。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 篇三
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 教学目标 1.理解并记忆对数的定义,对数与指数的互化,对数恒等式及对数的性质. 2.理解并掌握对数运算法则的内容及推导过程. 3.熟练运用对数的性质和对数运算法则解题. 教学重点与难点 重点是对数定义、对数的性质和运算法则.难点是对数定义中涉及较多的难以记忆的名称,以及运算法则的推导. 教学过程设计 师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,求20年后国民生产总值是原来的多少倍? 生:设原来国民生产总值为1,则20年后国民生产总值y=(1+7.2%)20=1.07220,所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍. 师:这是个实际应用问题,我们把它转化为数学中知道底数和指数,求幂值的问题.也就是上面学习的指数问题. 师:(板书)已知国民生产总值每年平均增长率为7.2%,问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍? 师:(分析)仿照上例,设原来国民生产总值为1,需经x年后国民生产总值是原来的4倍.列方程 1.072x=4. 我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值,求指数的问题,这是上述问题的逆问题,即本节的对数问题. 师:(板书)一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作 logaN=b, 其中a叫做底数,N叫做真数,式子logaN叫做对数式. 师:请同学谈谈对对数这个定义的认识. 生:对数式logaN实际上就是指数式中的指数b的一种新的记法. 生:对数是一种新的运算.是知道底和幂值求指数的运算. (此刻并不奢望学生能说出什么深刻认识,只是给他们自己一个去思维认识对数这个定义的机会.) 师:他们说得都非常好.实际上ab=N这个式子涉及到了三个量a,b,N,由方程的观点可得“知二求一”.知道a,b可求N,即前面学过的指数运算;知道b(为自然数时),N可求a,即初中学过的开 记作logaN=b.因此,对数是一种新的运算,一种知道底和幂值求指数的运算.而每学一种新的运算,首先要学习它的记法,对数运算的记法为logaN,读作:以a为底N的对数.请同学注意这种运算的写法和读法. 师:实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式.为了更深入认识并记忆对数这个概念,请同学们填写下列表格.(打出幻灯) 式子 名称 a b N 指数式 对数式 ab=N logaN=b 练习1 把下列指数式写成对数形式: 练习2 把下列对数形式写成指数形式: 练习3 求下列各式的值: (两名学生板演练习1,2题(过程略),一生板演练习三.) 因为22=4,所以以2为底4的对数等于2. 因为53=125,所以以5为底125的对数等于3. (注意纠正学生的错误读法和写法.) 师:由定义,我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么? 生:a>0且
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a≠1;b∈R;N∈R. 师:N∈R?(这是学生最易出错的地方,应一开始让学生牢牢记住真数大于零.) 生:由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N中N总是正数. 师:要特别强调的是:零和负数没有对数. 师:定义中为什么规定a>0,a≠1? (根据本班情况决定是否设置此问.) 生:因为若a<0,则N取某些值时,b可能不存在,如b=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,b不存在,如log02不存在;当N为0时,b可以为任何正数,是不唯一的,即log00有无数个值;若a=1,N不为1时,b不存在,如log13不存在,N为1时,b可以为任何数,是不唯一的,即log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,a≠1. (此回答能培养学生分类讨论的数学思想.这个问题从ab=N出发回答较为简单.) 师:下面我来介绍两个在对数发展过程中有着重要意义的对数. 师:(板书)对数logaN(a>0且a≠1)在底数a=10时,叫做常用对数,简记lgN;底数a=e时,叫做自然对数,记作lnN,其中e是个无理数,即e≈2.718 28……. 练习4 计算下列对数: lg10000,lg0.01,2log24,3log327,10lg105,5log51125. 师:请同学说出结果,并发现规律,大胆猜想. 生:2log24=4.这是因为log24=2,而22=4. 生:3log327=27.这是因为log327=3,而33=27. 生:10lg105=105. 生:我猜想alogaN=N,所以5log51125=1125. 师:非常好.这就是我们下面要学习的对数恒等式. 师:(板书) alogaN=N(a>0,a≠1,N>0).(用红笔在字母取值范围下画上曲线) (再次鼓励学生,并提出更高要求,给出严格证明.) (学生讨论,并口答.) 生:(板书) 证明:设指数等式ab=N,则相应的对数等式为logaN=b,所以ab=alogaN=N. 师:你是根据什么证明对数恒等式的? 生:根据对数定义. 师:(分析小结)证明的关键是设指数等式ab=N.因为要证明这个对数恒等式,而现在我们有关对数的知识只有定义,所以显然要利用定义加以证明.而对数定义是建立在指数基础之上的,所以必须先设出指数等式,从而转化成对数等式,再进行证明. 师:掌握了对数恒等式的推导之后,我们要特别注意此等式的适用条件. 生:a>0,a≠1,N>0. 师:接下来观察式子结构特点并加以记忆. (给学生一分钟时间.) 师:(板书)2log28=?2log42=? 生:2log28=8;2log42=2. 师:第2题对吗?错在哪儿? 师:(继续追问)在运用对数恒等式时应注意什么? (经历上面的错误,使学生更牢固地记住对数恒等式.) 生:当幂的底数和对数的底数相同时,才可以用公式 alogaN=N. (师用红笔在两处a上重重地描写.) 师:最后说说对数恒等式的作用是什么? 生:化简! 师:请打开书74页,做练习4. (生口答.略) 师:对对数的定义我们已经有了一定认识,现在,我们根据定义来进一步研究对数的性质. 师:负数和零有没有对数?并说明理由. 生:负数和零没有对数.因为定义中规定a>0,所以不论b是什么数,都有ab>0,这就是说,不论b是什么数,N=ab永远是正数.因此,由等式b=logaN可以看到,负数和零没有对数. 师:非常好.由于对数定义是建立在指数定义的基础之上,所以我们要充分利用指数的知识来研究对数. 师:(板书)性质1:负数和零没有对数. 师:1的对数是多少? 生:因为a0=1(a>0,a≠1),所以根据对数定义可得1的对数是零. 师:(板书)1的对数是零. 师;底数的对数等于多少? 生:因为a1=a,所以根据对数的定义可得底数的对数等于1. 师:(板书)底数的对数等于1. 师:给一分钟时间,请牢记这三条性质. 师:在初中,我们学习了指数的运算法则,请大家回忆一下. 生:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an=am+n.同底数幂相除,底数不变,指数相减,即am÷an=am-n.还有(am)n=amn; 师:下面我们利用指数的运算法则,证明对数的运算法则.(板书) (1)正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的'和.即 loga(MN)=logaM+logaN. (请两个同学读法则(1),并给时间让学生讨论证明.) 师:(分析)我们要证明这个运算法则,用眼睛一瞪无从下手,这时我们该想到,关于对数我们只学了定义和性质,显然性质不能证明此式,所以只有用定义证明.而对数是由指数加以定义的,显然要利用指数的运算法则加以证明,因此,我们首先要把对数等式转化为指数等式. 师:(板书)设logaM=p,logaN=q,由对数的定义可以写成M=ap,N=aq.所以 M·N=ap·aq=ap+q, 所以 loga(M·N)=p+q=logaM+logaN. 即 loga(MN)=logaM+logaN. 师:这个法则的适用条件是什么? 生:每个对数都有意义,即M>0,N>0;a>0且a≠1. 师:观察法则(1)的结构特点并加以记忆. 生:等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算. 师:非常好.例如,(板书)log2(32×64)=? 生:log2(32×64)=log232+log264=5+6=11. 师:通过此例,同学应体会到此法则的重要作用——降级运算.它使计算简化. 师:(板书)log62+log63=? 生:log62+log63=log6(2×3)=1. 师:正确.由此例我们又得到什么启示? 生:这是法则从右往左的使用.是升级运算. 师:对.对于运算法则(公式),我们不仅要会从左往右使用,还要会从右往左使用.真正领会法则的作用! 师:(板书)(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数. 师:仿照研究法则(1)的四个步骤,自己学习. (给学生三分钟讨论时间.) 生:(板书)设logaM=p,logaN=q.根据对数的定义可以写成M=ap,N=aq.所以 师:非常好.他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的.大家再想一想,在证明法则(2)时,我们不仅有对数的定义和性质,还有法则(1)这个结论.那么,我们是否还有其它证明方法? 生:(板书) 师:非常漂亮.他是运用转化归结的思想,借助于刚刚证明的法则(1)去证明法则(2).他的证法要比书上的更简单.这说明,转化归结的思想,在化难为易、化复杂为简单上的重要作用.事实上,这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到,而且在解题中的应用更加广泛. 师:法则(2)的适用条件是什么? 生:M>0,N>0;a>0且a≠1. 师:观察法则(2)的结构特点并加以记忆. 生:等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算. 师:(板书)lg20-lg2=? 师:可见法则(2)的作用仍然是加快计算速度,也简化了计算的方法. 师:(板书) 例1 计算: 生:(板书) 解 (1)log93+log927=log93×27=log981=2; (3)log2(4+4)=log24+log24=4; (由学生判对错,并说明理由.) 生:第(2)题错!在同底的情况下才能运用对数运算法则.(板书) 生:第(3)题错!法则(1)的内容是: 生:第(4)题错!法则(2)的内容是: 师:通过前面同学出现的错误,我们在运用对数运算法则时要特别注意什么? 生:首先,在同