染雾初二除根公式数学教案 篇一
在初二数学学习中，除根公式是一个非常重要的知识点，它是解决一元二次方程的利器。本文将为初二学生们带来一个详细的除根公式数学教案，帮助他们更好地掌握这一知识点。
一、知识回顾
在学习除根公式之前，我们需要回顾一下一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$。其中，a、b、c分别为常数，而x为未知数。要解决这个方程，我们需要借助除根公式。
二、除根公式的推导
假设一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个不相等的实根$x_1$和$x_2$，则有以下关系：
1. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. $x_1x_2 = \frac{c}{a}$
我们可以通过以上两个关系式，推导出除根公式：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
三、除根公式的应用
1. 根据一元二次方程的系数a、b、c，带入除根公式，可以求得方程的两个实根。
2. 如果$b^2 - 4ac > 0$，则方程有两个不相等的实根。
3. 如果$b^2 - 4ac = 0$，则方程有两个相等的实根。
4. 如果$b^2 - 4ac < 0$，则方程没有实根，但可以求得两个共轭复数根。
四、练习题
1. 解方程$x^2 - 5x + 6 = 0$
2. 解方程$2x^2 + 3x - 2 = 0$
3. 解方程$3x^2 + 2x + 1 = 0$
通过以上的练习题，同学们可以熟练掌握除根公式的运用方法，提高解一元二次方程的能力。
初二除根公式数学教案 篇二
除根公式作为初二数学中的一个重要知识点，需要同学们认真学习和掌握。本文将从实际生活中的问题出发，带领同学们深入理解除根公式的应用。
一、实际问题解析
假设小明和小红两人在一起有3万元存款，小明比小红多存了1000元，如果小明和小红的存款比例是2:3，那么小明和小红各自的存款是多少？
我们可以建立方程组：
1. $x + y = 3$
2. $x = y + 1000$
3. $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$
根据以上方程组，我们可以列出一元二次方程，然后利用除根公式求解，得出小明和小红各自的存款数。
二、除根公式的推广应用
除根公式不仅可以解决一元二次方程的问题，还可以应用在其他实际生活中的情景中。比如，利用除根公式可以求解抛物线的顶点、焦点等重要信息，也可以应用在物理学、工程学等领域中。
三、拓展练习
1. 求解方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$的实根。
2. 求解方程$3x^2 + 4x - 5 = 0$的实根。
3. 某地气温变化服从抛物线规律，已知当气温为20℃时，电费为100元；当气温为30℃时，电费为150元。求气温为25℃时的电费。
通过以上的拓展练习，同学们可以更深入地理解除根公式的应用，同时也可以提高解决实际问题的能力。
通过本文的除根公式数学教案，相信同学们对这一知识点有了更深入的理解和掌握，希望能够帮助同学们在数学学习中取得更好的成绩。
初二除根公式数学教案 篇三
教学建议
知识结构：
重点难点分析：
是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握.
教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式.
教法建议：
1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向.
2. 本节内容可以分为三课时，第一课时讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式(被开方数的分母可以开得尽方的二次根式);第二课时讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况;第三课时讨论分母有理化的概念及方法，并进行二次根式的乘除法运算，把运算结果分母有理化.这样安排使内容由浅入深，各部分相互联系，因此及彼，层层展开.
3. 引导学生思考想一想中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维.
教学设计示例
一、教学目标
1.掌握商的算术平方根的性质，能利用性质进行二次根式的化简与运算;
2.会进行简单的二次根式的除法运算;
3.使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算问题;
4. 培养学生利用二次根式的除法公式进行化简与计算的能力;
5. 通过二次根式公式的引入过程，渗透从特殊到一般的归纳方法，提高学生的归纳总结能力;
6. 通过分母有理化的教学，渗透数学的简洁性.
二、教学重点和难点
1.重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行.
2.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节
内容可引导学生自学，进行总结对比.
四、教学手段
利用投影仪.
五、教学过程
(一) 引入新课
学生回忆及得算数平方根和性质： (a0，b0)是用什么样的方法引出的?(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的.)
学生观察下面的例子，并计算：
由学生总结上面两个式的关系得：
类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：
(二)新课
商的算术平方根.
一般地，有 (a0，b0)
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
让学生讨论这个式子成立的条件是什么?a0，b0，对于为什么b0，要使学生通过讨论明确，因为b=0时分母为0，没有意义.
引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算.
例1 化简：
(1) ; (2) ; (3) ;
解∶(1)
(2)
(3)
说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数;本节根号下的字母均为正数.
例2 化简：
(1) ; (2) ;
解：(1)
(2)
让学生观察例题中分母的特点，然后提出， 的问题怎样解决?
再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开的尽方的情况， 的问题，我们将在今后的学习中解决.
学生讨论本节课所学内容，并进行小结.
(三)小结
1.商的算术平方根的性质.(注意公式成立的条件)
2.会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简.
(四)练习
1.化简：
(1) ; (2) ; (3) .
2.化简：
(1) ; (2) ; (3)
六、作业
教材P.183习题11.3;A组1.
七、板书设计
[初二除根公式数学教案]
