染雾三角函数恒等变换教案 篇一
在学习三角函数的过程中，恒等变换是非常重要的一部分。恒等变换可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，解决一些复杂的三角方程，以及证明一些三角函数的性质。在这篇文章中，我将为大家介绍一些常用的三角函数恒等变换，以及它们的应用方法。
首先，我们来看一下最基本的恒等变换之一：同角三角函数的互余关系。对于任意角θ，有以下关系成立：
1. sin(θ) = cos(π/2 - θ)
2. cos(θ) = sin(π/2 - θ)
3. tan(θ) = cot(π/2 - θ)
4. cot(θ) = tan(π/2 - θ)
5. sec(θ) = csc(π/2 - θ)
6. csc(θ) = sec(π/2 - θ)
这些互余关系可以帮助我们将一个三角函数的表达式转化成另一个三角函数的表达式，从而简化计算。同时，这些关系也可以用于证明一些三角函数的性质，例如sin和cos函数的周期性等。
除了同角三角函数的互余关系外，我们还可以利用双角和半角的恒等变换来简化复杂的三角函数表达式。其中，双角恒等变换包括：
1. sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
2. cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)
3. tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan^2(θ))
而半角恒等变换则包括：
1. sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / 2]
2. cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ)) / 2]
3. tan(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))]
这些双角和半角的恒等变换可以帮助我们解决一些复杂的三角函数方程，以及简化一些复杂的积分和微分运算。在实际应用中，我们经常会遇到需要利用这些恒等变换来简化问题的情况。
总的来说，三角函数的恒等变换是三角函数学习中的重要内容，掌握好这些变换可以帮助我们更好地理解和运用三角函数的性质。希望通过这篇文章的介绍，大家能够对三角函数的恒等变换有一个更深入的理解。
三角函数恒等变换教案 篇二
在学习三角函数的过程中，恒等变换是一个非常重要的概念。通过恒等变换，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式，从而更好地理解和应用三角函数的性质。在这篇文章中，我将为大家介绍一些常用的三角函数恒等变换，并通过实例演示它们的应用方法。
首先，我们来看一下三角函数的和差化积公式。对于任意角θ和φ，有以下公式成立：
1. sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ± cos(θ)sin(φ)
2. cos(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) ? sin(θ)sin(φ)
这些和差化积公式可以帮助我们将一个三角函数的和或差转化为乘积的形式，从而简化计算。这在解决一些复杂的三角函数方程和证明一些三角函数恒等式时非常有用。
另外，我们还可以利用和角公式和差角公式来进行恒等变换。和角公式包括：
1. sin(θ) + sin(φ) = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)
2. sin(θ) - sin(φ) = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)
3. cos(θ) + cos(φ) = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)
4. cos(θ) - cos(φ) = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)
而差角公式包括：
1. sin(θ)sin(φ) = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]
2. cos(θ)cos(φ) = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]
3. sin(θ)cos(φ) = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]
这些和角公式和差角公式可以帮助我们将三角函数的乘积或积分转化为和差的形式，从而更方便地进行计算。在实际应用中，我们常常会遇到需要利用这些公式来简化问题的情况。
总的来说，三角函数的恒等变换是三角函数学习中的重要内容，掌握好这些变换可以帮助我们更好地理解和应用三角函数的性质。希望通过这篇文章的介绍，大家能够对三角函数的恒等变换有一个更深入的理解。
三角函数恒等变换教案 篇三
三角函数恒等变换教案(1)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?
?2???2??2???2?
?sin?cos??cos?sin?．
sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?
让
学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
tan??????
sin?????sin?cos??cos?sin?
． ?
cos???cos?cos??sin?sin?
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan??????注意：????
?
2
?k?,??
tan??tan?
．
1?tan?tan?
?
2
?k?,??
?
2
?k?(k?z)
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan??????tan???????????
tan??tan????tan??tan?
?
1?tan?tan??1?tan?tan?
?k?,??
注意：????
?
2
?k?,??
?
2
?
2
?k?(k?z)．
（二）例题讲解
例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
27iss2o4c2s7onc24is（1）、n
?
s2oc07socn02ni07sis；（2）、0
?
；（3）、
1n51a?t
1n51a?t
．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、
???
??
??
??
?
?
??
1
； 2
27socn07n02iisssoc020709soc0?（2）、0；
?
（3）、
151na?tn54at51nat151na?t151n54at
?
??1
5
?n4a5t51?
0n6at?335
??
．
cos(???)?，求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?，
例3
xx
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
1?
x
?x?2cosxx???
sin30cosx?cos30sinx???30?x??
思考：?正、余弦分别等于和
1
2
的. 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：
32??1???
1、 已知tan??????,tan?求的值．（） ???,tan??????
5
?
4?
4
?
4?
22
2、 已知0???
值．
?
4
?????
3????3?3??5
求sin?????的,cos?????,sin?????，
4?4?5?4?13
二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin??????sin?cos??cos?sin?；
cos??????cos?cos??sin?sin?；
tan??????
tan??tan?
．
1?tan?tan?
我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中?看成?即可）， （二）公式推导：
sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；
cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；
思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；
cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．
tan2??tan??????
tan??tan?2tan?
?．
1?tan?tan?1?tan2?
注意：2??
?
2
?k?,??
?
2
?k? ?k?z?
（三）例题讲解 例4、已知sin2??
?
?
4
2
5??
,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342
解：由???,得?2???．
2
512
??又因为sin2?
?,cos2???． 1313?
于是sin4??2sin2?cos2??2?
5?12?120
； ??????
13?13?169
2
120
sin4?120?5?119
；tan4??． ???cos4??1?2sin22??1?2????
cos4?119?13?169
169
?
例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??
2tan?12
?tan??6tan??1?0
，由此得2
1?tan?3
13
解得tan???2
tan???2
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2
2
2
???
2
．
?1和cos??1?2sin2
解：我们可以通过二倍角cos??2cos2因为cos??1?2sin2因为cos??2cos2
?
2
?
2
?
2
来做此题．
?
2
，可以得到sin2
?
2
?
1?cos?
； 21?cos?
． 2
?
2
?1，可以得到cos2
?
2
?
又因为tan2
?
?1?cos?． 1?cos?cos2
2
sin2
?
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例7、求证：
sin??????sin??????（１）、sin?cos???； ??2
1
（２）、sin??sin??2sin
???
2
cos
???
2
．
证明：（１）因为sin?????和sin?????是我们所学习过的'知识，因此我们从等式右边着手．
sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．
两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????；
sin??????sin??????即sin?cos???； ?
1
（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；设?????,?????，
那么??
???
2
,??
???
2
．
???
2cos
把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin
???
2
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例8
、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值．
解：y?sinx
x这种形式我们在前面见过，
?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????， ?2?3????
所以，所求的周期T?
2?
?
?2?，最大值为２，最小值为?2．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
y?Asin??x???的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式
中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 总结： 1．
公式的变形
（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α
（3） 正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 万能公式（用tanα表示其他三角函数值）
2．
插入辅助角公式
3．
熟悉形式的变形（如何变形）
1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1
＋tanα
1＋tanα1－tanα
π
若A、B是锐角，A+B＝ ，则（1＋tanA）(1+tanB)=2
4
4． 在三角形中的结论（如何证明） A+B+Cπ
若：A＋B＋C=π =
22tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC ABBCCA
tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222
9．求值问题
（1）已知角求值题 如：sin555° （2）已知值求值问题 常用拼角、凑角
π3π35
如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝
45413 π3ππ
又
34
2）已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α－β)的值。
55（3）已知值求角问题
必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。 π11
如：．已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝
7341.（2010全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??
2. 已知0?x?
?
2
，化简：
x?
lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).
22
解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）
在?ABC中，
ACcosB
?。 ABcosC
（Ⅰ）证明B=C：
1??
（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。
3
?
3?
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinBcosB
=.于是sinCcosC
sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=.
又0
= 从而
sin4B=2sin2Bcos2B=
?
?
. 3
13
7，cos4B=cos22B?sin22B??.
99
所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin
3
3
?
3
?
4.（2010湖北理） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?
3
3
??
1
214
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
5.（2009江苏，15）设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能
力
。
6.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=. （I）求sinA的值；
(II)设
?ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运
1
3
算求解能力。
?B，（Ⅰ）由C?A?，且C?A??∴A??，
∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?
0，∴sinA?
233
?
2?4B2?BB(cos)422
C
B2
，
ACBC
?（Ⅱ）如图，由正弦定理得
sinBsinA
A B
∴BC?
ACsinA
?
sinB
3
?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?
cosAsinB
?
1
??
33333
1
2
12
?3
∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.（2009湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). （Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。 解：（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?，故tan??.
（Ⅱ）由|a|?|b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.
从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，
于是sin(2??)?4
1
4
?
??9?又由0????知，?2???，
4445??7?
，或2???. 4444
3??
因此??，或??.
42
所以2??
?
?
8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，
AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：
??
(II) 求sin?2A???的值
?
4?
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2
sinA
5
ABBC
?
sinCsinA
AB2?AC2?BD225
?
2AB?AC5
（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA=从而
?cos2A?
5
sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3
55
4
4
4
所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=
?
2
10
??
???
9.（2007安徽）已知0???，?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，
?
2cos2??sin2(???)??1??
·b?m．求2)，且a b?(cos?，的值． a??tan?????，?1?，
cos??sin?4????
π?
解：因为?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，故??π．
?
8?
??·b?m，又a因a·b?cos?·tan??????2．
4
?
?
??
故cos?·tan??????m?2．
4
?
?1
1
由于0???，所以
π4
2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)
?
cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?
?2cos?
1?tan?π??
?2cos?·tan?????2(2?m)
1?tan?4??
m??,n??cosA,sinA?
?
